3.1.2用二分法求方程的近似解.ppt

【变式备选】求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点(精确度0.1). 【解题提示】先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的精确度停止计算，最后确定要求的近似值. 【解析】由于f(1)=-20,f(2)=60,故可取区间［1，2］作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下： 由上表计算可知|1.437 5-1.375|=0.062 5＜0.1，故可取1.437 5作为函数f(x)正零点的近似值. 求方程近似解的常用方法 对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解. 用二分法求方程的近似解 【名师指津】 【例3】求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1). 【审题指导】本题给出了方程的具体表达形式，求其近似解，可利用转化思想，构造函数，转化成求函数的零点近似值. 【规范解答】设f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0, ∴在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有根，记为x0. 取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)=0.250, ∴2x02.5; 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)=-0.437 50,∴2.25x02.5; 如此继续下去，有f(2.375)＜0, f(2.5)＞0 x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)＜0, f(2.437 5)＞0 x0∈(2.375,2.437 5) ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5＜0.1, ∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 【变式训练】求方程x3=-2x2+3x+6的一个正数近似解(精确度0.1). 【解题提示】由已知，计算f(0),f(1),f(2)，得到解所在区间，再利用二分法求解. 【解析】令f(x)=x3+2x2-3x-6, 又∵f(0)=-6＜0，f(1)=-6＜0,f(2)=4＞0, ∴取区间(1，2)作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下： 由上表可知1.75-1.687 5=0.062 50.1，故可取1.75作为原方程的正数近似解. 【典例】(12分)用二分法求 的近似值(精确度0.1). 【审题指导】本题要求 的近似值,可首先把 确定为某 方程的解,再用二分法求方程的解的近似值. 【规范解答】设 则x2=5，即x2-5=0, 令f(x)=x2-5. 因为f(2.2)=-0.16＜0.……………………………………2分 f(2.4)=0.76＞0， 所以f(2.2)·f(2.4)＜0， 说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0, …………4分 取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，则f(2.3)=0.29.……6分 因为f(2.2)·f(2.3)＜0, ∴x0∈(2.2,2.3)…………………………………………8分 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, f(2.25)=0.062 5. 因为f(2.2)·f(2.25)＜0, 所以x0∈(2.2,2.25).……………………………………10分 由于|2.25-2.2|=0.05＜0.1, 所以 的近似值可取为2.25. …………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】求 的近似值(精确度0.01) . 【解题提示】本题是求无理数的近似值，解答本题时，可将该无理数看成某个方程的根，用二分法逼近求得. 【解析】设 则x3=2，即x3-2=0, 令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是 的近似 值，以下用二分法求其零点. 由f(1)=-10,f(2)=60,故可以取区间［1，2］为计算的初 始区间. 用二分法逐步计算，列表如下： 由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 50.01,所以 1.265 625是函数的零点的近似值，即 的近似值可取 1.265 625. 1.下列函数中不能用二分法求零点的是( ) (A)f(x)=2x+3 (B)f(x)=lnx+2x-6 (C)f(x)=x2-2x+1 (D)f(x)=2x-1 【解析】选C.因为f(x)=(x-1)2≥0，即含有零点的区间［a,b］不满足f(a)·f(b)＜0. 2.方程x5-x-1=0的一个正零点所在的区间可能是( ) (A)［0，1］ (B)［1,2］ (C)［2,3］ (D)［3，4］ 【解析】选B.令f(x)=x5-x-1， f(0)=-1＜0,f(1)=-1＜0,