2003年考研数学（二）真题评注.doc

2003年考研数学（二）真题评注 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） 若时， 与是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解】 当时，，. 于是，根据题设有 ，故a=-4. 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例1.62】. （2） 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 . 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式两边直接对x求导，得 ， 将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为 ，即 【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55 【例2.13】和【例2.14】. （3） 的麦克劳林公式中项的系数是 . 【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是 【详解】 因为 ，，，于是有 ，故麦克劳林公式中项的系数是 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可. 【详解】 所求面积为 =. 【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例7.38】. （5） 设为3维列向量，是的转置. 若，则 = 3 . 【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 【详解】 由=，知，于是 【评注】 一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有 完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例13】. （6） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 . 【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可. 【详解】 由知， ，即 ， 易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ， 因为 , 所以 . 【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160 【例11】. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ D ] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （2）设, 则极限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为 = =， 可见 = 【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法. （3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A） (B) (C) (D) [ A ] 【分析】 将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出. 【详解】将代入微分方程，得 ，即 . 令 lnx=u，有 ，故 = 应选(A). 【评注】