2012年全国高中数学联赛试题（卷）.doc

２０１２年全国高中数学联赛试题(卷) 一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 ． 解:方法1:设则直线的方程为 即 由 又所以 故 设的内角的对边分别为，且满足，则的值是 . 解:由题设及余弦定理得 ,即 故. ３．设，则的最大值是 . 解:不妨设则 因为 所以 当且仅当时上式等号同时成立. 故 4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立. 故的最大值为1. 5．设同底的两个正三棱锥和内接于 同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ． 解:如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而, 因为 所以即 所以,故 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ． 解:由题设知,则 因此,原不等式等价于 因为在上是增函数,所以 即 又所以当时,取得最大值 因此,解得 故的取值范围是 ７．满足的所有正整数的和是 ． 解:由正弦函数的凸性,有当时, 由此得 所以 故满足的正整数的所有值分别为 它们的和为. ８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其 中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 解:用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为 .于是,有,即 由知，是首项为，公比为的等比数列。 所以，即，故 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分） 已知函数 （１）若对任意，都有，求的取值范围； （２）若，且存在，使得，求的取值范围． 解:(1) 令则分 对任意,恒成立的充要条件是 分 (2)因为所以 所以分 因此 于是,存在,使得的充要条件是 故的取值范围是分 １０．（本小题满分２０分） 已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有 （１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 解:(1)当时, ,由得. 当时,,由得或……………5分 当时, 若得或;若得; 综上,满足条件的三项数列有三个: 1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分 (2)令则 从而 两式相减,结合得 当时,由(1)知; 当时, 即 所以或……………………………………15分 又 所以………………………………20分 １１．（本小题满分２０分） 如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为， 且． （１）求证：为定值； （２）当点A在半圆（）上运动时，求 点的轨迹． 解:因为 所以山的共线………………………………………5分 如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 (定值)……………………………10分 (2)设其中 则. 因为 所以…………………………………………15分 由(1)的结论得 所以 从而 故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别 为………………………………………………20分 8