4.2两角和与差、二倍角的公式（一）.doc

4.2 两角和与差、二倍角的公式（一） ●知识梳理 1.C（α+β）的推导 角α的始边为Ox，交单位圆于P1，终边OP2交单位圆于P2，角β的始边为OP2，终边交单位圆于P3，角－β的始边为Ox，终边交单位圆于P4，由||=||，得［cos（α+β）－1］2+sin2（α+β）=［cos（－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2. ∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ. 2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推导线索 （1）在C（α+β）中以－β代β即可得到C（α－β）. （2）利用cos（－α）=sinα即可得到S（α+β）；再以－β代β即可得到S（α－β）. （3）利用tanα=即可得到T（α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式. ●点击双基 1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 A.－ B. C.－ D. 解析：原式=sin17°·（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=. 答案：B 2.（2005年春季北京，7）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B）， ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. ∴cosAsinB－sinAcosB=0. ∴sin（B－A）=0.∴B=A. 答案：B 3.的值是 A. B. C. D. 解析：原式= = ==. 答案：C 4.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，则sinα=_______. 解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜. 故由sin（α+β）=，得cos（α+β）=－. 由cosβ=－，得sinβ=. ∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－. 答案：－ 5.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=_______. 解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°）A=30°. 答案：30° ●典例剖析 【例1】 设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）. 剖析：=（α－）－（－β）. 依上述角之间的关系便可求之. 解：∵＜α＜π，0＜β＜， ∴＜α－＜π，－＜－β＜. 故由cos（α－）=－，得sin（α－）=. 由sin（－β）=，得cos（－β）=. ∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=. ∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－. 评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换. 【例2】 （2000年春季京、皖）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c. 证明：=. 剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理. 证明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA， b2=a2+c2－2accosB， ∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB， 整理得=. 依正弦定理有=，=， ∴= =. 评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=π，a+b＞c，a＞bA＞BsinA＞sinB等. 【例3】 已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值. 剖析：由已知首先消去γ是解题关键. 解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ. 平方相加得 （sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1. ∴－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=. ∴β－α=±. ∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=. 评述：本题极易求出β－α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件. ●闯关训练 夯实基础 1.（2004年上海，1）若tanα=，则tan（α+）=____________. 解析：tan（α+）===3. 答案：3 2.要使sinα－cosα=有意义，则应有 A.m≤ B.