5.1定积分的概念与性质5.2微积分学基本定理5.3定积分的积.ppt

第5章 定积分 例６　计算由曲线 、直线 x=2 与x轴围成的图形的面积． 例3 求 解 例4 求 解 例5　计算 ，其中 解　 解　由定积分的几何意义，得 定理 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若 满足下列三个条件： 5.3.1 定积分的换元积分法 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式. (2)当t在α与β之间变化时， 单调变化且 连续，则 5.3 定积分的积分方法 注意： (1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能αβ，也可能αβ，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 . 例1 求 解 方法二 注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量 例2 计算 解 = 注 用第二类换元法计算定积分时，由于引 入了新的积分变量，因此，必须根据引入的 变量代换，相应地变换积分限． 例3 求 解 例4 证明 例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算. 前页 结束 后页 前页 结束 后页 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分学基本定理 5.3 定积分的积分法 5.4 广义积分 结束 5.1.1 引入定积分概念的实例 引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形. 下面我们求曲边梯形的面积 (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 记每一个小区间 的长度为 a b x 5.1 定积分的概念与性质 (2)近似 表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则 a (3)求和 将所有矩形面积求和 过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形. (4)取极限 记 为所有小区间中长度的最大者,即 ,当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即 解 (1) 分割 引例2 变力做功 在 插入n个分点 则 即是曲边梯形面积的近似值. 将闭区间[a,b]分成n个小区间: 小区间的长度 (2)近似 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为 (3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即 (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为 ,即 ,则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点所做的功,即 5.1.2 定积分的概念 定义 定积分(简称积分) 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即 可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积.