7.3Romberg积分.ppt

7.3 Romberg积分 设 是任意数, 是关于步长h逼近 的近似公式,它们的误差估计式为 (1) 我们希望找到一种简便的方法,用近似公式F(h)的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使 (2) 此时, 逼近 F* 的误差为O(h2) 类似地,用 组合产生逼近F* 的误差 为 O(h3) 的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方法. 把(1)式改写为 (3) 用h/2代替(3)式中的h,得 (4) 用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h的项,得 (5) 令 ,且记 那么(5)式可写为 (6) 这里, 逼近 的误差为 再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为 (7) 用4乘(7)式减去(6)式,消去含 的项,得 (8) 同样记 (8)式可以写为 (9) 这里 逼近 的误差为 还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过 程,可以得到误差为 的 一般地,对 ,有逼近 的误差为 的递推公式 (10) 也称为关于步长h的外推公式. 表7-1列出了 时,按(10)式产生 的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号. 表7-1 例1 设 带余项的差分公式为 (11) 导出具有误差为 的外推公式. 解 令 用 h/2代替h,得 (12) 为消去含 的项,用4乘(12)式减去 (11)式,得 从而有 (13) 这里 这时, 逼近 的误差为 . 重复用h/2代替h并消去含 的项 ,得到逼近 的误差为 的 外推公式为 注意(14)式中第二项的分母为 而不 是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项 为关于 的幂次而不是关于h的幂次. 7.3.2 Romberg求积方法 Romberg求积方法是以复化