§2.3多项式的最大公因式.ppt

§2.3 多项式的最大公因式 (前提) F[x]是数域F上的一元多项式环 定义1 令f(x)与g(x)是F[x]的两个多项式. 若F[x]的一个多项式h(x)同时整除f(x) 与g(x), 则称h(x)为 f(x)与g(x)的一个公因式. 两个多项式f(x)与g(x)总?公因式, 即至少有一个零次多项式作为公因式, 但一般还有其它公因式.定义2 设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式. 若f(x)与g(x)的每个公因式都整除d(x), 则称 d(x)为f(x)与g(x)的最大公因式.  §2.3 多项式的最大公因式 定理2.3.1 F[x]的任两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式. 除了零次因式外, f(x)与g(x)的最大公因式是唯一确定的.  [若d(x)是多项式f(x)与g(x)的最大公因式, 则?c(?0且?数域F)与d(x)的乘积cd(x)且仅有这样的乘积是多项式f(x)与g(x)的最大公因式] (本定理的证明, 可类比Th1.4.2的证明方法, 但给出的证明实际上同时提供了求最大公因式的方法) §2.3 多项式的最大公因式 §2.3 多项式的最大公因式 证: 存在性: 若f(x)=g(x)=0, 则由定义, f(x)与g(x)的 最大公因式是0. 假如f(x), g(x)?0, 不妨设g(x)?0. 用带余除法, 以g(x)除f(x), 得商式q1(x) 及余式r1(x). 若r1(x)?0, 则再以r1(x)除g(x), 得 商式q2(x)及余式r2(x). §2.3 多项式的最大公因式 若r2(x)?0, 再以r2(x)除r1(x), 如此继续 下去, 余式的次数将逐次降低. 在有限次的这种除法之后, 终将得到 一个余式rk(x), 它能整除前一个余式 rk?1(x), 这样的过程得出如下一串等式: f(x)=g(x)q1(x)+r1(x),…(见下页) §2.3 多项式的最大公因式 f(x)=g(x)q1(x)+r1(x), g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x), r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x), (1) ............ rk?3(x)=rk?2(x)qk?1(x)+rk?1(x), rk?2(x)=rk?1(x)qk(x)+rk(x), rk?1(x)=rk(x)qk+1(x). 其中的rk(x)就是要求的 f(x)与g(x)的最大公因式. §2.3 多项式的最大公因式 (1)的最后一个等式表明: rk(x)| rk?1(x); 结合倒数第二个等式, 有 rk(x)|rk?2(x); 同理由倒数第三个等式, 有 rk(x)|rk?3(x); 逐步往上推, 最后得: rk(x)|f(x)与g(x). ∴ rk(x)是f(x)与g(x)的一个公因式. §2.3 多项式的最大公因式 再设h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式, 则由(1)的第一个等式, 必有: h(x)|r1(x); 同理, 由第二个等式, h(x)|r2(x), 如此往下推, 最后得: h(x)|rk(x), 这表明: rk(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 唯一性: 由最大公因式定义与上节性质1,6,7即得. 证明的同时给出求最大公因式的方法: 辗转相除法 §2.3 多项式的最大公因式 (不难看出) ① 两个零多项式的最大公因式为0(唯一). ② 两个不全为零的多项式的最大公因式总是 非零多项式, 它们之间的差别仅为一常数 因子(视为唯一). 故约定: 最大公因式取最高项系数为1的那个, 并 记作: (f(x), g(x)). (唯一性更明确了) ③ 若数域 ?F,