§5.2线性微分方程组的一般理论.ppt

作业 P201 1, 2, 4,6 P202 7,8,9(c),10 3 常数变易公式 则(5.15)的通解为 其中C是任意的常数列向量, 下面寻求(5.14)形如 的解, 把(5.24)代入(5.14),得 (1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式 从而 反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件 的特解. 因此,(5.24)变为 定理8 (1) 向量函数 是(5.14)的解,且满足初始条件 (2) 方程组(5.14)的通解为 注1: 注2: 公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式. 例5 求方程组 的通解. 解: 由例4知 是对应齐次方程的基解矩阵, 由(5.26)得方程的特解为 所以,原方程的通解为 例6 试求初值问题 的解. 解: 由例3知 是对应齐次方程的基解矩阵, 故方程满足初始条件 的解是 (2) n阶线性微分方程的常数变易公式 则(5.7)对应齐次方程的基本解组为 从而其基解矩阵为 推论3 的基本解组,那么非齐线性方程 的满足初始条件 解为 齐次线性方程组的通解结构 §5.2 线性微分方程组的一般理论 一阶线性微分方程组: 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 非齐线性微分方程组. 一 齐次线性微分方程组 1 叠加原理 定理2 证明: 则有 所以 2 函数向量组线性相关与无关 证明: 例1 证明:函数向量组 在任何区间都是线性相关的. 证明: 要使 例2 证明:函数向量组 则需 因为 所以 故 线性无关. 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 由这n个向量函数所构成的行列式 称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式 (2)定理3 证明: 相关, (3)定理4 证明: “反证法” 则 现在考虑函数向量 由定理2知, 由(5.17)知, 因此,由解的存在唯一性定理知, 即有 矛盾 注1: 注2: (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 且 4 通解结构及基本解组 定理6 证明: 由已知条件, 又因为 从而可知 即它们构成n维线性空间的基, 现在考虑函数向量 由定理2知, 由(5.20)知, 因此,由解的存在唯一性定理,应有 即 推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n. 基本解组: 为(5.15)的一个基本解组. 注1: (5.15)的基本解组不唯一. 注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间. 注3: 由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去. 首先有: 线性相关. 证明: 即有 即向量组(*)是线性相关的. 反之, 如果向量组(*)是线性相关, 当然有 从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5. 从本节定理6立即得到 推论2 5 解矩阵与基解矩阵及性质 (1)定义 则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵. 则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵. 基解矩阵---- 以基本解组为列构成的矩阵. 由定理5,6得 由定理3,4得 注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关. 如矩阵 注2: 例3 验证 是方程组 的基解矩阵. 解: 由于 又由于 证明: 证明: 于是有 由此可得 即有 例4 验证 是方程组 基解矩阵,并求其通解. 解: 又由于 其通解为 二 非齐次线性微分方程组 1 非齐线性微分方程组解的性质 性质1 性质2 性质3 2 通解结构定理 定理7 这里C是确定的常数列向量. 证明: 由性质2知, 即 这里C是确定的常数列向量. * * * *