§7.2线性变换的运算.ppt

§7.2 线性变换的运算 令 V 是数域F上一个向量空间．V 到自身的一个线性映射叫做 V 的一个线性变换． 后面只考虑一个向量空间 V 的线性变换，但是，所有讨论不用作太多改变即可推广到一般线性映射的情形． 向量空间 V 的一切线性变换所成的集合表示的符号是：L(V) §7.2 线性变换的运算 设 ?, ? ? L(V)，对 ? (向量) ??V，令 ?(?) + ?(?) 与之对应，即得V到自身的一映射，称为 ? 与 ? 的和，记作 ? + ?， ? + ?： ? |?? ?(?) + ?(?)． V的线性变换 ? 与 ? 的和 ? + ? 也是V的一个线性变换． 理由是：令 ? = ? + ?，则 对 ? a, b?F 和 ? ?, ??V， ?(a? + b?) = ?(a? + b?) + ?(a? + b?) = a?(?) + b?(?) + a?(?) + b?(?) = a(?(?) + ?(?)) + b(?(?) + ?(?)) = a?(?) + b?(?)． 所以 ? + ? 是V的一个线性变换． §7.2 线性变换的运算 线性变换的加法满足交换律和结合律，即对 ? ?, ?, ??L(V) 有： (不难证明) (1) ? + ? = ? + ?； (2) (? + ?) + ? = ? + (? + ?)． 令 ? 表示 V 到自身的零映射，称之 V 的零变换，它有以下性质： 对 ? ??L(V) 有 (3) ? + ? = ?． 设 ??L(V)，? 的负变换 ?? 是指 V到V的映射 ??： ? |?? ??(?)． 容易证明，?? 也是V的线性变换，并且 (4) ? + (??) = ?． §7.2 线性变换的运算 下面给出两个定义： V的线性变换 ? 与 ? 的差的定义： ? ? ? = ? + (??)． 从而可在L(V)中施行加法的逆运算 —— 减法． F中的数与V的线性变换的乘法的定义： 设 k?F, ??L(V)．对 ? ??V，令 k?(?) 与它对应，即得 V 到 V 的一个映射，记作k?，它也是V的一个线性变换． 理由是：令 ? = k?，则对 a, b?F 和 ?, ??V， ?(a? + b?) = k(?(a? + b?)) = k(a?(?) + b?(?)) = ak?(?) + bk?(?) = a?(?) + b?(?)． §7.2 线性变换的运算 关于数与线性变换的乘法，对 ?k, l?F 与 ??, ??V 有运算规律： (5) k(? + ?) = k? + k?， (6) (k + l)? = k? + l?， (7) (kl)? = k(l?)， (8) 1? = ?． (由此可得定理7.2.1) 定理7.2.1 L(V) 对 加法和数与线性变换的乘法来说作成数域F上一个向量空间． ? §7.2 线性变换的运算 设 ?, ??L(V)，又已知合成映射 ????L(V)，合成映射 ??? 也称为 ? 与 ? 的积，并且记作??，而且对 ? k?F 与 ? ?, ?, ??L(V) 有运算规律： (9) ?(? + ?) = ?? + ??， (10) (? + ?)? = ?? + ??， (11) (k?)? = ?(k?) = k(??)． 这里仅验证等式(9)，等式(10) (11)可以类似地验