《高等数学复习》教程.doc

《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（等价小量与洛必达） 2.已知 解： （洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， 解：令 （变量替换） 5. 解：令 （变量替换） 6.设连续，，求 （洛必达与微积分性质） 7.已知在x=0连续，求a 解：令 （连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1. （洛必达） 2. （洛必达或Taylor） 3. （洛必达与微积分性质） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。 解： 5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， D.幂级数展开问题 9. 或： 10.求 解： = E.不等式的证明 11.设， 证：1）令 2）令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2.曲线 3. 4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1. 2. 3.设，求 解： 4. B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。 解： 6. C.积分的应用 7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。 解：切线绕x轴旋转的表面积为 曲线绕x轴旋转的表面积为 总表面积为 三、补充习题（作业） 1. 2. 3. 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满足，求 解： 2. 3