一、交错级数及其判别法.ppt

一、交错级数及其判别法 二、绝对收敛与条件收敛 * * 定义: 正、负项相间的级数 §3 一般项级数 为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）设 满足以下两个条件 1）数列 单调递减 2） 则 收敛 证明 所以数列 收敛 推论 若级数 满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数 的余项估计式为 若级数 收敛，则称级数 绝对收敛 若级数 收敛，但是级数 不收敛，则称级数 为条件收敛。 定理12.12 若级数 收敛，则级数 收敛 对任何正数 总存在正数N，使得nN和任意正数r,有 证 由于 因此由柯西准则知级数 也是收敛的。 例1 证明级数 绝对收敛 . 证 由于对任何实数 有 ， 所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛 绝对收敛级数的两个重要性质 1. 级数的重排 定义:把正整数列 到它自身的一一映射 称为正整数列的重排,相应地对于数列 按映射 所得到的数列 称为原 级数的重排,相应也称级数 是级数 的 重排. 则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 定理12.13 设级数 绝对收敛,且其和等于 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如： 2. 级数的乘积 设 为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表： 这些乘积 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相 加，于是分别有： 和 定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对 收敛，则对（3）中所有乘积 按任意顺序排列 所得到的级数 也绝对收敛，且其和等于 例2 等比级数 ＜1 是绝对收敛的，将 按 的顺序排列，则得到 =1+2 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式）设 为两组 实数，若令 则有如下分部求和公式成立： 证：以 分别乘以 整理后就得所要证的公式。