一、可逆矩阵的概念.ppt

* §4.4 矩阵的逆 * 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ② 可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 　 性质： 余子式，矩阵 设　 是矩阵　　　　　中元素 的代数 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 同理, 非退化的），且 证：若　　　　由 所以，A可逆，且 两边取行列式，得 2、定理：矩阵A可逆当且仅当　　　 （即A 得 反过来，若A可逆，则有 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而　　　　 再由　　　　 即有， 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. 解：1）　 ∴ A可逆. 再由 有 ∴ 当　　　　　　　　　时，A可逆. 且由于 三、逆矩阵的运算规律 (5) 若A可逆，则 亦 可逆，且 (6) 若A可逆，则 亦 可逆，且 当 时，定义 注： 则有 设方阵 A 满足 证明： 与 皆可逆，并求其逆. 例2 由 即 故 A 可逆，且 再由 得 即 故 可逆，且 证： 得