一、实数集二、实数的绝对值三、区间与邻域.ppt

* 一、实数集 二、实数的绝对值 三、区间与邻域 第一节 预备知识 一、实数集 整数集 无理数 这种无限不循环小数称为无理数. 有理数集 具有原点、正方向和长度单位的直线为数轴. 任何一个有理数都恰有数轴上的一个点与其对应,这种与有理数对应的点称为有理点. 无理数在数轴上对应的点称为无理点. 有理数与无理数统称为实数，实数集记为R. 正无理数 负无理数 (无限不循环小数) 正有理数 零 负有理数 实数 有理数 无理数 正整数 正分数 负整数 负分数 实数的全体充满了整个数轴，即实数不但是稠密的，而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一对应的关系.实数系统可表示为： 二、实数的绝对值 　　例如，|3.78|=3.78，|–8|=8，|0|=0 . |x|的几何意义为数轴上点x到原点的距离. 实数x的绝对值，记为|x|，它是一个非负实数.即 |x|= 实数的绝对值有如下性质： (1)对于任意的 ，有 .当且仅当x=0时，才有|x|=0. (5)设 ，则| x |a 的充要条件是 –axa . (6)设 ，则 的充要条件是 . (7)设 ，则 | x |a 的充要条件是x–a或者xa. (8)设 ，则 的充要条件是 或者 . (2)对于任意 ，有|–x|=|x|. (3)对于任意 ，有 . (4)对于任意 ，有 . 　　它们的几何解释是很直观的.例如性质(5)，在数轴上|x| a表示所有与原点距离小于a的点x构成的点集，–axa表示所有位于点– a 和点a之间的点x构成的点集,它们表示同一个点集.性质(6)—(8)可作类似的解释. 由性质(5)可以推得不等式|x–A|a与A – axA+a是等价的，其中A为实数，a为正实数. 关于四则运算的绝对值，有以下的结论: 对任意的 ，恒有 仅就结论(1)进行证明. 证 由性质(4)，有 (相当于性质(6)中 )，得 根据性质(6)，由于 三、区间与邻域 区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们的名称、记号和定义如下 (其中a，b为确定的实数，分别为区间的左端点和右端点): 半开区间 * *