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一定积分的概念二定积分的简单性质三定积分的计算四定积.ppt
一 定积分的概念 二 定积分的简单性质 三 定积分的计算 四 定积分的应用 五 广义积分和Γ函数 5.1.1两个实际问题 解决步骤 : 3) 求和. 2. 变速直线运动的路程 3) 求和. 5.1.2 定积分概念 定积分的几何意义: 可积的充分条件: 例2. 用定积分表示下列极限: 说明: (梯形公式) 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 例1. 试证: 例2. 内容小结 一、引例 5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式 说明: 例1. 求 例3. 例1. 计算 例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 内容小结 备用题 例1. 计算 例2. 计算 例3. 例4. 计算 1. 设 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 例4. 计算阿基米德螺线 例5. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例6. 计算心形线 例6. 求双纽线 例7. 计算由椭圆 5.6.1 广义积分 定义1. 设 例1. 计算广义积分 例2. 证明第一类 p 积分 例2. 计算广义积分 2、暇积分——无界函数的积分 定义2. 设 例3. 计算暇积分 备用题 试证 5.6.2、? 函数 2. 性质 (2) 习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 说明: 练习: 1. 例3. 例4. 证明 二、有关定积分计算和证明的方法 例9. 求 例1 求 例11. 选择一个常数 c , 使 例2:若 因为 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称暇积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称暇积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 (a , b] 上的暇积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 而在点 c 的 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 讨论暇积分 的收敛性 . 解: 所以暇积分 发散 . , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 (1) 递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (分部积分) 注意到: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、与定积分概念有关的问题的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第五章 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 因为 时, 所以 利用夹逼准则得 因为 依赖于 且 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 原式 不对 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4 求极限 解: 原式 2. 求极限 提示: 原式 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束 估计下列积分值 解: 因为 ∴ 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法 思考: 下列作法是否正确? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仿此可得(图1)的面积: A y x=f(y) (图2)的面积: (图1) (图2) (图3)的面积: x y=f(x) (图3) 另解 选 为积分变量 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 5.
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