一阶导数应用.doc

一阶导数应用 1、函数的极值 ①P82，定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。 可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点） 驻点 ←极值点 ②判别方法 P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、， 设满足关系式，且, ，则在点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减 已知函数对一切满足 如，，则 A 是的极小值 B、是的极大值 C、是曲线的拐点 D、不是的极值，也不是曲线 的拐点 设函数在的某邻域内可导，且， ，则是的极 大 值。 2、函数的最大值与最小值 求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。 (2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值 如是极大值则为最大值 (3)如分别为最小, 最大值 (4)实际问题据题意可不判别。 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作 切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 解：设切点为，切线方程为 即 ∴ 三角形面积： ，令 （唯一） ∴ 故 为所求点 3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如则曲线是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 和 不存在的点 设，试讨论的性态。 x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞) y’ + 0 - 间 断 + 0 + y’’ - - - - 0 + y 单调增 上凸 极大值 单减 上凸 单增上凸 拐点 (1,0) 单增 下凸 渐近线 如 则称为水平渐近线 如 则称为垂直渐近线 例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论） 解： ∵ ∴ 为水平渐近线 ∵ ∴ 垂直渐近线 曲线的渐近线有 4 条 4 证明不等式 （1）利用中值定理（R，L）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值； （4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。 例1、 当，试证： 即 证： 设 ，在连续，可导， 由拉格朗日中值定理 ∵ ，即 ∴ 例2、设，证明 证： 设 单增，当 ∴ 设 单增，当 ∴ 例3、当 证明 证： 令 驻点唯一， ∵ ∴ 极小 ∴ 为最小值 即 P91 ， 习题22 当 证明 证: 设 令 , 驻点唯一 , 当 , → 在上 最大值为 ,最小值为 ∴ 设，证明 证明：即 证 设 ， 时 ∴ 单减 当 即 设在上可导，且单调减， 证明： ， 证： 令 ∵ 单调减 ， ， ∴ ，即单调减 ， 即 极小值 极大值