一阶微分方程的解的存在定理.doc

一阶微分方程的解的存在定理 主要内容 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 解的一般性质 奇解* 近似计算和误差估计 研究对象 主要问题 存在性，存在区间？ 唯一性？ 延拓性，最大存在区间？ 初值微小变动时，解的变化情况？ 本章要求 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 掌握逐步逼近方法的本思想 理解解的一般性质 解的延拓 解对初值的连续依赖性和可微性 掌握求奇解的两个方法 利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法 内容提要 概念和定义 存在唯一性定理 本节要求 掌握逐步逼近方法的基本思想 会用解的存在唯一性定理解决具体问题 一 概念与定义 1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示 2. 利普希兹条件 函数 称为在矩形域 : ……(3.1.5) 关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L0使得不等式 对所有 都成立。L 称为利普希兹常数。 二 存在唯一性定理 1 定理1 如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 ，定义在区间 , 且满足初始条件 这里 2 定理1的证明 需证明五个命题 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解 命题 5 证明唯一性 命题1 设 是初值问题 的解的充要条件是 是积分方程 ……(3.1.6) 的定义于 上的连续解。 证明: 微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。 积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。 证 明 因为 是方程(3.1.1)的解，故有: 两边从 积分得到: 把(3.1.2)代入上式，即有: 因此, 是积分方程在 上的连续解。 反之，如果 是 (3.1.6) 的连续解，则有： ………(3.1.8) 求导，得到: 又把 代入(3.1.8)，得到: 因此， 是方程(3.1.1)定义于 上，且满足初始条件(3.1.2)的解。 同理，可证在 也成立。 命题1证毕。 现在取 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在 上有定义、连续，即满足不等式: 证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似） 当 n =1 时, 所以 在 上有定义,连续。 即命题2 当 n =1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。 即 当 n=k 时， 在 上有定义，连续，也就是满足不等式 而当 n=k+1 时， 在 上有定义，连续。 ?即命题２在 n=k＋１时也成立。 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。 命题２证毕。 命题３ 函数序列 ，在 上是一致收敛的。 考虑级数: 它的部分和为： 为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有: 设对于正整数 n , 不等式 成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计: 由此可知，当 时，有 (3.1.14)的右端是正项收敛级数 的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在 上一致收敛, 因而序列 也在 上一致收敛。 命题3证毕 现设 则 也在 上连续，且由(3.1.10) 又可知 命题4 是积分方程(3.1.6)的定义于 上的连续解。 证 明: 由利普希兹条件 以及 在 上一致收敛于 即知序列 在 上一致收敛。 因而，对(3.1.9)两边取极限,得到: 即 这就是说, 是积分方程(3.1.1