主讲教师陈殿友.ppt

一、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 例3. 证明 2. 保号性定理 推论: 定理 2 . 若在 3. 左极限与右极限 例4. 设函数 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 例6. 证明 两种特殊情况 : * * 主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第八讲 函数的极限 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §3 函数的极限 在上一节我们学习数列的极限，数列{xn}可看作自变量 为n的函数：xn=f(n),n∈N+,所以，数列{xn}的极限为a,就是 当自变量n取正整数而无限增大(即n→∞)时,对应的函数值 f(n)无限接近于某个确定的数a，把数列极限概念中的函数 为f(n)而自变量的变化过程为n→∞等特殊性撇开，就可以 引出函数极限的一般概念。 在自变量的某一变化过程中，如果对应的函数值无限 接近于某个确定的数，那末这个确定的数就叫做在这一变 化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密 切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限也就 表现为不同的形式。 一、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限看作函数f(n) 当n→∞时的极限，这里的自变量的变化过程是n→∞.而函数极限的自变量的变化为： 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主讲教师：陈殿友 总课时： 124 第九讲 函数的极限 定理1 . 若 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则存在 使当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 3 . ( P38 题8 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，如果 则直线y=c是函数y=f(x)的 图形的水平渐近线.