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质心速度在解一维弹性碰撞问题上的应用 　　【摘 要】本文介绍用质心速度的关系来解一维完全弹性碰撞的问题。这种解题方法的关系较为简单，容易记忆，运用起来比较方便。 　　【关键词】一维完全弹性碰撞 质心速度 应用 　　【中图分类号】O313 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）02-0155-02 　　质心和质心速度在普通物理中一般都有讲述。如图1，设两质点在x轴上运动，并设碰撞前某一时刻m1和m2与原点的距离为x1和x2，两质点的质心C与原点的距离为xc， 　　则有： 。 　　上式对时间t求一阶导数得： 或 　　式中vc为质心速度，m1v10+m2v20是两质点碰撞前的总动量。如果两质点碰撞过程动量守恒，即m1v10+m2v20=m1v1+m2v2，也即是质心速度在碰撞前后保持不变，则有： 　　可以证明，两质点作一维完全弹性碰撞时，碰撞前后的速度有如下简单的关系： 　　下面直接利用一般教科书上给出的碰撞后速度表示式： 　　证明上述的关系。从（3）式得出： 　　由（4）式得： 　　当然，用动量守恒，动能守恒的方程式也可证明（2）式的关系。（2）式是质心速度关系解题法的主要公式，它既可求碰撞后的速度，又可求碰撞前的速度。下面举几个实例来说明。 　　例1：如图1，两质量分别为m1=0.2kg和m2=0.3kg，速度分别为v10=4m/s和v20=3m/s的球体相对作一维完全弹性碰撞。求两球碰撞后的速度。 　　解题时设速度向右为正，向左为负。先用（1）式求出质心速度： 　　用（2）式求得两球碰撞后的速度： 　　例2：质量分别为m1=0.1kg和m2=0.15kg的两球作完全弹性碰撞后均向右运动，速度分别为v1=0.5m/s和v2=1m/s。求两球碰撞前的速度。 　　利用碰撞后的速度求出质心速度： 　　由（2）移项可分别求得碰撞前的速度： 　　例3：质量比m1∶m2=2∶3的两球作对心完全弹性碰撞。设m1碰撞前和后的速度分别为v10=0.4m/s和v1=-0.4m/s，求m2碰撞前和后的速度v20和v2。 　　由（1）式移项化简得： 　　把已知数值代入（5）式整理后得： 　　由（2）式中的两式相减得： 　　把已知数值代入（7）式整理后得： 　　（6）和（8）式联立可求得v20=-0.3m/s，v2=0.26m/s。 　　例4：如图1，两个质量和为1kg的球体以大小相等方向相反的速度作完全弹性碰撞，碰撞后第一球的速度为-0.3m/s，第二球的速度为0.7m/s。求v10、v20、m1、m2。 　　因 ，把此关系代入例3中的（7）式得： 　　则有 。 　　把m2=1-m1，代入例3中的（5）式，移项后得： 　　并有 。 　　例5：如图2，AB为光滑的曲面，BC为光滑的水平面。一质量为m1的质点从AB上某一高度下滑，以v10的速度跟 　　静止在BC平面上质量为m2质点作完全弹性碰撞。碰撞后m1又沿原路返回，并沿AB上升，后又从曲面滑下并与m2作第二次碰撞。问：（1）第一次碰撞后m1和m2的速度为多大？（2）如果能发生第二次碰撞，必须满足什么条件？（3）第二次碰撞后m2的速度又为多大？ 　　因m2碰撞前静止（v20=0），则m1和m2的质心速度 　　。m1和m2碰撞后的速度为： 　　第一次碰撞后，v1必须是负值（此时m2必须大于m1）m1才能返回曲面。由于曲面和平面均为光滑，因此m1第二次从曲面下滑到平面上作第二次碰撞前的速度 与第一次碰撞后返回的速度v1大小相等、方向相反，即 =-v1。要实现第二次碰撞， 必须大于v2，即-v1v2。将（9）和（10） 　　式代入此关系得： 。 　　解上不等式得：m23m1。 　　因此，要发生第二次碰撞必须满足m23m1的条件。 　　由于第一次碰撞后m1返回曲面过程受外力（重力）作用，使系统的动量发生变化。因此第二次碰撞过程的质心速度与第一次碰撞时不相等，必须根据第二次碰撞m1和m2的速度 和v2建立新的质心速度 ，即： 　　把（7）和（10）式代入上式化简后得： 　　设第二次碰撞后m2的速度为v2′，则有： 　　必须注意，上式要在m23m1的条件下才能成立。 　　上面各例题如果直接用动量守恒和动能守恒的关系或（3）和（4）式来解，也会得出同样的结果，但有的问题在解题过程中要复杂些。 　　参考文献 　　[1]程守洙、江之永.普通物理学（上册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007 　　[2]唐文校、梁志强.两体问题的质心速度与一维完全弹性碰撞[J].物理与工程，2004（14） 　　[3]吴永盛.大专物理学[M].武汉：华中科技大学出版社，2003 　　〔责任编辑：李继孔〕