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一元函数求极限的若干方法 （陕西师范大学 数学系，陕西 ） 摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法 大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法. 1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限. 1.1 数列极限的定义 设是一个数列,是定数,如果对任意给定的,总存在正整数，使得当时有 , 我们就称定数是数列的极限.记为 或 . 例1 按定义证明，这里是常数. 证 由于 ， 故对任给的,只要取，则当时，便有 即. 这就证明了 . 例2证明 分析 由于 （1） 因此，对任给的，只要，便有 （2） 即当时，（2）式成立．又由于（1）式是在的条件下成立的，故应取 （3） 证 任给，取据分析，当nN时有（2）式成立．于是本题得证． 注 本例在求N的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的能确定出N．又（3）式给出的N不一定是正整数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可． 1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个，一个是趋于时函数的极限，另一个是趋于时函数的极限. 1.2.1 趋于时函数的极限 设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有 ， 则称函数当趋于时以为极限，记为 或 . 1.2.2 趋于时函数的极限 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有 ， 则称函数当趋于时以为极限，记为 或 . 例3 证明 . 证 任给,取,则当时有 , 所以. 例4 设,证明. 证 由于当时, , 故对给定的,只要取,根据题意当时有.这就证明了. 注 用极限的定义时，只需证明存在 ,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧．但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑． 2 利用极限的四则运算法则求极限 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等. 2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限 直接运用函数极限的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0. 定理 若极限都存在，则函数 例5 求极限：. 解 . 例6 (这种解法是错误的，因为不存在，因此不能写成.) 2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限. 间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解. 2.2.1 消零因子法 对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解. 例7 求极限 . 解 . 2.2.2 无穷大分除法 当时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母 再取极限. 例8 解 根据题意 此类型的题可总结为 以后直接利用该公式即可. 3 利用柯西准则求极限 定理 设函数在内有定义. 存在的充要条件是对于任意的，存在正数，使得对于任何有 下面证明 不存在。 证明 取，对任何，设正整数，令，，则，从而 . 由柯西准则可知不存在。 4 利用两个重要极限求极限