14-15无穷大与无穷小;极限运算法则.doc

1.4 无穷大与无穷小 1.5 极限预算法则 I.授课题目： §1.4 无穷小与无穷大 §1.5 极限运算法则。 II.教学目的与要求： 1.理解无穷大和无穷小的概念，掌握无穷小的性质，了解无穷小与无穷大的关系； 2.掌握极限的运算法则，并能应用法则求一些简单极限。 III.教学重点与难点： 重点：1.理解无穷小、无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系； 2.理解极限运算法则的意义，熟练掌握其应用. 难点：极限运算法则的应用 IV.讲授内容： §1.4 无穷小与无穷大 无穷小： 定义1 如果函数当是的极限为零，那么称函数为使得无穷小 说明：（1）0是特殊的无穷小量； （2）无穷小量的极限存在； （3）无穷小量总伴随着一个极限过程。（举例说明） 例1 因为，所以函数为当是的无穷小 因为，所以函数为当是的无穷小 定理1 在自变量的同一变化过程，函数具有极限A的充要条件是，其中是无穷小。 注：本定理说明了无穷小与函数极限的关系。 无穷大 定义2 设函数在的某一去心领域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式0（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。 说明：（1）无穷大量的极限不存在，只是一个记号，为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大” （2）无穷大量总伴随着一个极限过程；（举例说明） （3）无穷大量还分为正无穷大和负无穷大，如果在无穷大的定义中，把，就记作 例2 证明 证 设 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且0，则为无穷大。 注：本定理说明了无穷小与无穷大之间的关系. §1.5极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小； 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；（常用） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小； 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。 （2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当时，是无穷小，个这种无穷小之和的极限显然为2。 （3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当时，是无穷大量，是有界量，显然。 定理3 如果 那么 （1） （2） （3） 若又有，则 注:（1）对数列极限，有类似的结论。见定理4（教材P.45）。 （2）若要用法则，与的极限必须同时存在，如不能用法则计算； （3）加法可以推广到有限个函数极限中去，但无限个不行；例如： （4）推论：， 定理5 如果，而 则 这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。 1．代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。 例1． 以后，若极限过程是，可直接代入表达式，只要带代入后，表达式有意义即可。但有时，代入后表达式没有意义，就要用其他方法。如代入后，分母为0，没有意义，此时可以用以下的方法来求解。 2．倒数法：若表达式代入后的形式为型，可以用倒数法 例2． 有时，代入后，表达式的分子分母均为0.即，此时是一种未定型，可采取约去零因子法 3．约去零因子法 例3．。（对分子分母进行因式分解，约去零因子） 例4． （分子分母有理化，约去零因子） 注意：分子分母有理化以后，不一定都是用约去零因子法 4．无穷小量分离法 例5．，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。 一般的，又如下结论： 例6．，（分子分母同除）。 例7．，（分子分母同除）。 5．利用定理求极限 例8．（无穷小量乘以有界量）。 例9．（很容易写成用法则做） 6．复合函数的极限运算 设函数当时的极限存在且等于，即，但在点的某去心邻域内，又，则复合函数当时的极限也存在，且 例10． 练习：求下列极限 （1） （2） （3） 例11．设，求 解：由题意，，则对于，，， 则，所以 例12．设有极限值（不是），求与。 解：，而不为，故 则 Ⅴ.小结与提问 小结：无穷小量是一种以零为极限的特殊的变量，所以它的性质和运算法则都可有函数极限的性质和运算法则直接推得。重点是无穷小量与有极限的量的关系。 提问： 思考题：如果存在，不存在，能否判定必定不存在？ Ⅵ.课外作业 1