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逻辑用语亦有“思” 　　摘 要：在数学中，判断一件事情的语句叫作命题；在中学课本中，可以判断真假的语句叫作命题。这两个定义都不严密，其定义中使用的判断一词，与中文中通常的意义不全相同。在逻辑学中，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假。所以，我们定义是：命题是这样的语句，这个语句能够判断真假。本文主要探讨数学逻辑中的思想。 　　关键词：数学；判断；逻辑；思想 　　在学习数学过程中，学习常用逻辑用语在准确理解概念并准确应用判断和推理解决相关数学问题外，还须注意四大数学思想的应用。下面举例说明在数学逻辑学习中应该注意的“思想”。 　　一“思”――数形结合 　　数形结合思想在常用逻辑用语中的应用主要体现在，命题涉及的问题具有一定的几何意义或可联系函数的图象来解决。 　　例1：对实数x、y，“x2+y2≤1”是“-1≤x≤1，-1≤y≤1”的什么条件？ 　　分析：考虑由两个不等式对应的点集A={（x，y）|x2+y2≤1}与B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}的包含关系，就可顺利解答。 　　解：做出满足x2+y2≤1的点集合A对应的图形（图中阴影部分），再做出满足-1≤x≤1，-1≤y≤1的点集合B对应的图形（外面正方形及内部）。由图知，A？芴B，故x2+y2≤1是-1≤x≤1，-1≤y≤1的充分不必要条件。 　　点评：本题是将两个条件利用数形结合转化为判断两个图形之间的关系，即对应的两个集合间关系来判断的。 　　二“思”――分类讨论的思想 　　分类讨论在简易逻辑中主要体现在：有时需要对命题的真假分两种情形讨论，有时命题的条件与结论之间的关系分四种情形讨论；有时命题本身涉及字母参数及相关概论需要讨论。 　　例2：设命题p：c22c+3和命题q：对任意x∈R， 　　lg（4-c2）无意义。若p或q为真，p且q为假，则实数c的取值范围是_________。 　　解：解c20，得命题q：-2c2， 　　由p或q为真，p且q为假，知p与q一真一假。 　　当p真q假时，由-1c3且c≤-2或c≥2，得2≤c3； 　　当p假q真时，由c≤-1或c≥3且-2c2，得-2c≤-1； 　　综上，实数c的取值范围是2≤c3或-2c≤-1。 　　点评：本题在确定出命题p与命题q中一真一假，到底命题哪个真哪个假就须分两类讨论，即p真q假与p假q真。 　　三“思”――转化的思想 　　转化思想在数学中无处不在，在命题及其关系、充分条件与必要条件、逻辑连接词等方面均有涉及。 　　例3：判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假。 　　分析：由于原命题与逆否命题等价，因此可以将问题转化为直接判断原命题的真假。 　　解：根据命题之间的关系“原命题与逆否命题同真同假”，只需判断原命题的真假即可， 　　∵a，x为实数，且关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空， 　　点评：要判断一个命题的真假，可根据已知条件直接判断，如果证明相对较困难或过程较烦琐，则可利用原命题与其逆否命题的等价关系将问题转化为判断其等价命题的真假。 　　四“思”――函数与方程的思想 　　在常用逻辑用语中，如果命题涉到函数的图象、性质与方程的解等时，常常需要通过利用函数与方程的思想来解决。 　　例4：已知命题p：函数y=2-|x|-m的图象与x轴有交点；命题q：函数y=（logm）x为减函数。若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为_________。 　　分析：利用函数的知识简化命题p与q，得到各自的m的取值范围，根据条件再求交集。 　　解：由命题“p且q”是真命题，知命题p与q都为真命题， 　　由2-|x|-m=0，m=2-|x|，而-|x|≤0，所以0m≤1，即命题p：0m≤1。 　　点评：本题简化命题p的过程中体现了函数与方程的思想，而简化q的过程体现函数思想。 　　总之，在数学中，几乎每一个问题都有逻辑联系，数与数之间的组合、运算、转换、变化都是因逻辑关系而产生的。可以说，有了逻辑推理，数字就变得多姿多彩，奥妙无穷了。一方面，这是数学问题本身因一定的条件而产生的规律，另一方面，在逻辑推理中解决数学问题，显示了数学逻辑所体现的数之美，显示了无穷的价值。所以，我们必须抓住逻辑推理这个关键来进行升华，总结其“思想”为我们所用，让学生体会逻辑推理中的“思想”应用的奥秘，在愉快的学习中掌握好数学知识。 　　（作者单位：郑州幼儿师范高等专科学校） 4