北邮 电路与信号 第8章 普拉斯变换北邮 电路与信号 第8章 拉普拉斯变换北邮 电路与信号 第8章 拉普拉斯变换北邮 电路与信号 第8章 拉普拉斯变换.ppt

* 整理后，得到响应的拉氏变换式为 * 再求零输入响应 系统的全响应 * 8-8 n阶微分方程的一般形式为 * 假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即 * 定义系统函数 根据拉氏变换的卷积定理 同样可得到 * 8-9 H(s)的零极点分布与时域特性h(t) 的关系 冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。 * 若系统函数为有理函数，则系统函数可以写出如下形式 * 在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用×表示，零点：用○表示 * * * 一阶极点 二阶极点 * 物理可实现的系统都是因果系统，随着时间 ， ，这表明系统的极点都位于虚轴 的左半平面，此时收敛域包含虚轴在内。 包含虚轴的拉氏变换它的傅里叶变换也存在，只需将拉氏变换中的s改为 即可，我们进一步可知连续时间信号虚轴上的拉氏变换就是傅里叶变换。 * * * 第八章 连续时间系统的拉普拉斯变换分析法 * 目录 单边拉氏变换的性质 8-4 引言 8-1 拉普拉斯变换的定义 8-2 典型信号的拉氏变换 8-3 拉普拉斯反变换 8-5 连续时间LTI系统的复频域分析 8-6 * H(s)的零极点分布与时域特性h(t)的关系 8-9 电路的复频域分析法 8-7 系统函数H(s) 8-8 * 8-1 引言 在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（O.Heaviside 1850~1925）发明了“运算法”（算子法）。解决电工程计算中遇到的一些基本问题。 法国数学家拉普拉斯（P.C. Laplac，1749~1825年）的著作中为亥维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。 拉普拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中得到广泛应用。 * 8-1-2 复频域分析法 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于： 它给出的结果有着清楚的物理意义， 傅里叶变换的不足之处： 傅里叶变换只能处理符合绝对可积（ ）条件的信号， 而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制。 * 复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）对系统进行分析，研究系统的传输函数（又称系统函数），系统的时域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。它在通信与控制领域至少有以下几个方面的应用： 简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。 建立系统函数，由求 H(s)。 由H(s) 零、极点求系统频响特性。 由 H(s)零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。 * 8-2-1 从傅立叶变换导出拉氏变换 信号 ，乘以衰减因子 （ 为任意实数）后，很容易满足绝对可积条件。 根据傅里叶变换定义： 令 ，具有频率的量纲，称为复频率。 * 将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作 取傅立叶反变换 等式的两边都乘以 ，则时间信号 可表示为 令 则 ，可得 * （8-1） （8-2） （8-3） （8-3）式是 信号的双边拉氏变换，称 是 的象函数。（8-2）式是 的拉氏逆变换，称 是 的原函数。这两个积分式可简单记作 * 是一对拉氏变换对 在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，即 式称为 信号的单边拉氏变换。 8-2-2 拉氏变换的收敛域 时间信号 的单边拉氏变换为 若变换式 存在，则是被积函数为收敛函数，即 收敛域（ROC）：使F(s)存在的 的区域称为收敛域。要满足 * 收敛域的表示法 【例题8-1】 时间信号 （ ）是单边信号，位于 的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。 解： * 即 时， 存在 ROC： ROC 【例题8-2】