2参数估计反问题.doc

第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18～21日 甘肃兰州 文章编号： CSTAM2014-B01-0084 标题：基于实验数据的粘弹性材料广义分数阶单元网络Zener模型的参数估计 作者：范文萍，蒋晓芸 单位：山东大学数学学院 Copyright ? 2014 版权所有 中国力学学会地址: 北京市北四环西路15号　邮政编码:100190 　Address: No.15 Beisihuanxi Road, Beijing 10Zener模型的参数估计1） 范文萍，蒋晓芸2） （山东大学数学学院，山东济南 250100）Jimenez等人实验测得的聚甲基丙烯酸甲酯Friedrich[3]基于分数阶四参数Maxwell模型研究了粘弹性材料的松弛和迟滞函数。Shimizu等[4]用分数阶Kelvin-Voigt模型模拟了粘弹性阻尼现象。陈明等[5]研究了鲫鱼组织的粘弹性性质，并用分数阶Zener模型拟合了其应力松弛实验数据。 由Schiessel等人[6-8]提出的分数阶单元(fractional element,FE)模型，描述了分段式的自相似特性，对粘弹性本构关系的研究产生了深远的影响。他们提出用一个三角形或梯形表示一组三参数应力-应变关系，即 (1) 其中，分别为应力和应变函数，是FE单元的常数参数，为松弛时间，是阶Riemann-Liouville微分算子，定义[9]如下： 纯弹性和纯粘性分别对应于(1)式中的取值为0和1的情形。然而这种分数阶单元模型亦存在不足之处。首先，模型对单元参数的大小作了严格限制，这使得很多经典的结果被排斥在其解之外。其次，在求解过程中用到的逆Mellin变换技术和H-Fox函数是较复杂和繁琐的，导致一些比较复杂的模型，很可能无法求解。因此，徐明瑜等人[10]提出了广义分数阶单元(GFE)网络方法，这种方法不仅将解空间扩展到广义函数空间，同时消除了对模型参数的限制。 与分数阶流变学模型相关的一个重要问题是通过实验数据反演模型中的相关参数。目前，用于经典问题的参数反演方法已有很多，而对分数阶模型的参数反演方法的研究较少。Ghazizadeh等人[11]用Levenberg-Marquardt方法估计了分数阶模型的松弛时间和分数阶阶数。赵潇[12]考虑了二维分数阶粘弹性正问题二维静力分数阶粘弹性正问题Gauss-Newton算及松弛时间，并通过与实验数据拟合证明了参数估计方法的有效性和所得结果的准确性。最后分析两种方法的拟合效果，得出相关结论。 1 GFE网络Zener模型及其解析解 图1 所示的三个GFE单元所构成的网络即称为GFE网络Zener模型。由于串联结构的应力相等，并联结构的应变相等，易得出模型的应力-应变本构关系式。 图1 GFE网络Zener 模型 不妨假设模型参数，。则GFE网络Zener 模型的本构方程为： (2) 其中，，， (3) 令，是Heaviside单位阶跃函数。考虑分数阶线性自治系统的Cauchy问题，对方程(2)式先进行Laplace变换，然后用离散的方法逆Laplace变换，即可得到条件下，模型的解析解[10]： (4) 其中是伽马函数，是广义Mittag-Leffler函数[13]，定义为 (5) 当时，GFE网络Zener模型即等价于分数阶Maxwell模型。 2 参数估计反问题 研究分数阶本构方程的参数估计问题具有重要的实际意义。然而，目前适用于分数阶模型的参数估计方法较少。在文献[14]中，Jimenez等人实验测得了粘弹性材料聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)的应力松弛模量实验数据，他们指出PMMA的应力松弛模量数据可以用分数阶Maxwell模型进行拟合，并通过对松弛模量的近似，给出了模型中的相关参数值。然而这种方式得到的拟合结果与实验数据存在较大偏差。朱克勤等人在文献[15]中分析了导致上述偏差的主要原因，并给出了修正的分数阶Maxwell模型参数，如表1所示，但却并没有给出具体的参数反演方法。