4-1几何证明选讲史记祥（江苏省泰州市姜堰第二中学225500电话.doc

4-1几何证明选讲 史记祥（江苏省泰州市 姜堰第二中学225500 电话 重点知识回顾 几何证明选讲主要讲述三部分内容：第一部分为平行线分段成比例定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的射影定理；第二部分为圆周角的概念、圆周角定理及其推论，圆的切线的性质及其推论，切线的判定定理，切线长定理，弦切角定理及其推论，相交弦定理、割线定理，切割线定理，圆的内接四边形的性质定理与判定定理第三部分为旋转体、球的相关性质，点、平面、直线与球的位置关系，平行投影，切线长定理，圆柱的截线及圆锥的截线。 重要知识点和常用解题方法具体如下： 一、相似三角形形的判定与性质 相似三角形的判定定理有以下三个：（1）两角对应相等；（2）两边对应成比例且夹角相等；（3）三遍对应成比例；相似三角形的性质定理为：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 判定两个三角形相似时，主要是寻找对应角的相等或对应边成比例；对于直角三角形的相似则还有其他特殊方法，特别是直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；相似三角形的性质则是证明比例式或乘积式的重要依据，有时会和圆的知识相联系； 二、直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积； 直角三角形的定理是求线段线段的常用方法之一，经常会和圆凳能得到直角的知识综合运用； 三、圆周角定理及其推论 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半；它的推论有：（1）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角等于，反之，的圆周角所对的弧为半圆（或弦为直径）； 利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，解题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线来构造等弧、等角、等弦的条件； 四、圆的切线的性质与判定 切线的判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线；其性质定理与推论为：（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点；（3）经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心； 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点是常用的辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解；与圆的切线联系较多的还有切割线定理等； 五、圆幂定理 相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用 （1）相交弦定理：圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等； （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等； （3）切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项； 圆幂定理是高考考查热点，考查综合性较强，与相似三角形、圆周角、切线、圆内接四边形等联系一起；主要是解决一类乘积式的证明问题，解题的关键是分清切线与割线、相关图形及要证等式的特点. 六、圆内接四边形及共圆定理 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；共圆定理：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两端点共圆. 运用圆内接四边形的性质，即对角互补，一个外角等于其内角的对角作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立. 高考命题趋势 几何证明选讲高考考查重点是直角三角形的射影定理、相似三角形的判定和性质定理、圆的切线的判定和性质定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、圆内接四边形的性质和判定定理；从近两年高考试题来看，题目一般综合考查圆的相关性质定理以及相似形等知识；计算、证明过程中常用的思想方法为化归、转化思想，利用相似三角形、圆幂定理进行角、边之间的等价转化是最常用手段；试题难度不大，一般都属中档题。 题型一、相似三角形的判定与性质 [命题规律] 高考对“相似三角形的判定和性质定理，从而，所以，在直角三角形中 点评：此题较为简单。三角形相似的判定方法很多，但要结合图形结构特征、分析题目中的条件，从而确定其判定方法；对应角相等、对应边成比例是相似三角形的常用性质，利用角相等可将角转化，利用对应边成比例则可将边进行转化，求比例线段、证明乘积式往往都转化为两个三角形相似的问题. 同类拓展1 （吉林省2010年高三调研）如图，梯形内接于，，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点；若，，，则切线 题型二、圆周角定理 [命题规律] 高考对“圆周角定理”的要求为Ｂ级，主要考查