必修3课件1.3.1-1算案例(一)必修3课件1.3.1-1算法案例(一)必修3课件1.3.1-1算法案例(一)必修3课件1.3.1-1算法案例(一).ppt

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com §1.3.1-1算法案例(一) * §1.3.1-1算法案例(一) 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com 学习目标 1.通过辗转相除法与更相减损术的学习,进一步体会算法思想． 2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术算法的含义;了解其计算过程;了解其算法程序框图和程序． 1. 回顾算法的三种表述： 自然语言 程序框图 程序语言 （三种逻辑结构） （五种基本语句） 2. 思考： 小学学过的求两个数最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 复 习 25 （1） 5 5 35 7 所以，25和35的最大公约数为5 49 （2） 7 7 63 9 所以，49和63的最大公约数为7 2.除了用这种方法外还有没有其它方法？ 算出8251和6105的最大公约数. 1.求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 1、辗转相除法（欧几里得算法） 所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数. 例1.用辗转相除法求98与63的最大公约数. 98=1×63＋35 63=1 ×35＋28 35=1 ×28＋7 28=4 ×7＋0 所以，98与63的最大公约数为7 新 课 辗转相除法的原理：如果q和r是m除以n的商及余数, 即 m=nq+r,则gcd(m,n)=gcd(n,r). 证明: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)  则有a|m 及a|n,因此a|(m-nq), 即 a|r及a|n,所以a|b 又 b|r及b|n,所以b|(nq+r), 即b|m及b|n,所以b|a 因为a|b并且b|a,所以a=b,即gcd(m,n)=gcd(n,r). 如计算 gcd(546, 429) 546=1×429+117, 429=3×117+78, 117=1×78+39, 78=2×39． 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4 所以37是8251和6105的最大公约数 求8251和6105的最大公约数. P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 所以45是225和135的最大公约数 思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构． m=n×q＋r 算法步骤 第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m. 程序框图 程 序 r=m MOD n m=n 是 否 n=r 开始 输入m,n r=0? 输出m 结束 直到型循环结构 INPUT “m,n=“;m,n DO LOOP UNTIL r = m MOD n m = n n = r r=0 PRINT m END 程序框图 程 序 当型循环结构 INPUT “m,n=“;m,n WHILE WEND r = m MOD n m = n n = r r0 PRINT m END r=1 求m除以n的余数r m=n 是 否 n=r 开始 输入m,n r0? 输出m 结束 r=1