5.6数据拟和与最小二乘法.ppt.ppt

* 5.6 数据拟合与最小二乘法 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录: 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近 ---------(1) 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点 一、最小二乘法 考虑一般的线性超定方程： 写成矩阵形式： ---------(2) 其中， ---------(3) 记 --(4) 并称向量 为超定方程组(2)的余向量 定义：称n维向量 为线性超定方程组(2) 的最小二乘解，如果它使 达到最小值. --(5) 要使(5)达到最小值，即求F的最小值，因此有： 即： 上式写成矩阵形式为： ---------(6) 将n元线性方程组(6)称为超定方程组(2)的正规方程组 或法方程组，其解称为超定方程组(2)的最小二乘解 定理：如果线性超定方程组(2)的系数矩阵A的列向量组 线性无关，则其正规方程组(6)存在唯一的解向量 , 而且 是式(2)的最小二乘解，即对任意的n维向量 ， 当 时有 证： 因为A的列向量线性无关，所以由线性代数的知识 可以知道 是对称正定矩阵，因此方程组(6)存在 唯一的解向量 . 设 记 二、数据拟和 已知n组实验数据 求表达式 ，使它尽可能地反映已知数据的变化 趋势，也就是说要求误差向量 按某种范数达到最小，这个问题称为数据拟和(或曲线 拟和)问题，称 为拟和曲线或经验公式 如果拟和曲线是次数低于n-1的代数多项式，则称其为 多项式拟和 以下讨论多项式拟和的最小二乘法 --(7) -(8) 将 分别代入多项式(7)的两端，得 一个含有m+1个未知数的线性超定方程组： 写成矩阵形式为： 其中， ----(9) 的解,其中 * * * * *