必修④上篇第2章2.2.3修④上篇第2章2.2.3必修④上篇第2章2.2.3必修④上篇第2章2.2.3.ppt

【课标要求】 1．掌握向量数乘运算的定义，理解向量数乘的几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，并会根据运算律熟练进行有关的计 算． 3．理解并掌握向量共线定理，能判断两个向量是否共线，能灵活运用向量判断点共线． 【核心扫描】 1．向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2．向量共线定理的应用．(难点) 2．2.3　向量数乘运算及其几何意义 向量 数乘 λ0 λ0 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ . (2)(λ＋μ)a＝ . (3)λ(a＋b)＝ . 特别地，有(－λ)a＝ ＝ ； λ(a－b)＝ . 温馨提示：数乘向量与数乘数有区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数． (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 . 温馨提示：该定理加a≠0这一条件的原因：(1)若a＝b＝0，则实数λ仍然存在，但λ并不唯一，此时定理不成立． (2)若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，此时定理也不成立．因此，向量共线定理必须加上a≠0这一条件． b＝λa 4．向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b. 温馨提示：向量的线性运算可与多项式和多项式的运算类比，在运算过程中，我们将同一向量看做是同类项，相应的运算只是实数的运算，因此向量的线性运算基本上是代数式的运算． 加 减 数乘 互动探究 探究点1 数乘向量与原向量之间有什么关系？ 提示　数乘向量与原向量共线． 探究点2 向量数乘的几何意义是什么？ 提示　由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩． 当|λ|1时，表示a的有向线段在原方向(λ0) 或反方向(λ0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|1时，表示a的有向线段在原方向(λ0) 或反方向(λ0)上缩小为原来的|λ|倍． [思路探索] 利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果． [规律方法]　向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． [规律方法]　(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一、法二． [规律方法]　(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值． (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线． 方法技巧　数形结合思想在向量中的应用 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数释形”使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性表现． 本节中的数形结合主要体现在：(1)让向量的分解更加直观；(2)让向量的计算小巧、有趣． [思路分析] 根据题意画出满足条件的图形，边结合图形边运用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减运算，注意转化的方向． 答案　C 课堂达标 1．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝(　　)． A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 解析　4(a－b)－3(a＋b)－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b. 答案　D 2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为(　　)． A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定 解析　a＋b＝3e1－e2，c＝6e1－2e2＝2(a＋b)，故c与a＋b共线． 答案　B 3．若|a|＝3，向量b与a反向，且|b|＝2，则a＝________b. 5．计算： (1)(－7)×6a； (2)4(a＋b)－3(a－b)－8a； (3)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． 解　(1)原式＝(－7×6)a＝－42a. (2)原式＝(4a－3a－8a)＋(4b＋3b)＝－7a＋7b. (3)原式＝(5a－6a)－4b＋4b＋(c－2c)＝－a－c. 课堂小结 1．λa是一个向量，它既有长度又有方向，其长度|λa|＝|λ||a|，其方向与λ的符号有关，当λ0时，λa与a同向；λ0时，λa与a