必修④上篇第2章2.3.1修④上篇第2章2.3.1必修④上篇第2章2.3.1必修④上篇第2章2.3.1.ppt

【课标要求】 1．通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定 理的含义，了解基底的含义． 2．理解并掌握平面向量基本定理． 3．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义． 【核心扫描】 1．平面向量基本定理．(重点) 2．平面向量基本定理的应用．(难点) 3．两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点) 新知导学 1．平面向量基本定理 2．向量的夹角 互动探究 探究点1 平面向量的基底唯一吗？ 提示　不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [思路探索] 根据平面向量基本定理，所要表示的向量先在其中的一个三角形中用两个向量表示出来，再寻找这两个向量与其他向量的关系，以至找出所要表示的向量与基底的关系． [规律方法]　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解． 类型二　向量的夹角问题 【例2】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [思路探索] 以a，b为邻边作平行四边形，则a＋b，a－b分别表示对角线向量，利用平行四边形的知识求解． [规律方法]　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”． [规律方法]　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握． [错因分析] 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错． [防范措施] 求两个向量的夹角时，应把这两个向量平移到起点重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线．两向量的夹角的范围是[0°，180°]，当两向量同向共线时，其夹角为0°；当两个向量反向共线时，其夹角为180°. 解析　A正确，B错，这样的a只能与e1、e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有无数对． 答案　A 4．已知向量a与b的夹角是45°，则向量－2a与－3b的夹角是________． 解析　－2a与a反向，－3b与b反向，故－2a与－3b的夹角等于a与b的夹角，为45°. 答案　45° 解　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)， ∴(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 又∵a，b不共线， ∴2－3λ＝2λ－1＝0. 这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． 课堂小结 1．对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 新 知 探 究 题 型 探 究 感 悟 提 升 2．3　平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1　平面向量基本定理 不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线 非零 ∠AOB＝θ 同向 垂直 反向 新 知 探 究 题 型 探 究 感 悟 提 升