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14.3 因式分解 -----提公因式法 授课人：张妮 云南师范大学附属俊发城中学 回忆 运用前面所学的知识填空： 把下列多项式写 成乘积的形式 都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 (1) m(a+b+c)= (2) (x+1)(x-1)= (3) (a+b)2 = ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 m a+b+c x+1 x-1 探究一 a+b 观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？ 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 定义 X2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 X2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 二者是互逆关系 初步应用 巩固新知 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥2 ③ ⑥ 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。 相同因式m 这个多项式有什么特点？ 例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。 系数：最大 公约数。 3 字母：相同的字母 x 所以，公因式是3x。 指数：相同字母的最低次幂 1 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂 你想到了吗？ 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ （3） （a） （a2） （2(m+n)） （3mn） (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn 如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。 ( a+b+c ) ma+ mb +mc m = (1) 8a3b2 + 12ab3c 例1: 把下列各式分解因式 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。 (2) 2a(b+c) - 3(b+c) 注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。 小明解的有误吗？ 把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y) 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽。 诊断 正确解：原式=6xy(2x+3y) 小亮解的有误吗？ 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。 错误 注意：某项提出莫漏1。 解：原式 =x(3x-6y) 把3x2 - 6xy+x分解因式 正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1) 小华解的有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号 错误 诊断 把 - x2+xy-xz分解因式 解：原式= - x(x+y-z) 注意：首项有负常提负。 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 行：看你能否过关？ 把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) (4) -x3y3-x2y2-xy 例2 把 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 分解因式 变式：(x-y)2+y(y-x)