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一、基础知识 1、随机变量 按取值特征，分离散型随机变量和连续型随机变量两种。 1.1、连续型随机变量定义（了解） 随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x)，使对任何实数x，有F(X)= ，则称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数。概率密度具有两个特征：（1）、f(x)≥0 非负性；（2）、∫f(x)dx=1 归一性。满足此两项，即可作为某随机变量的密度函数。 1.2、常用连续型随机变量的分布 （1）、均匀分布（矩形分布） a、定义：随机变量X的概率密度函数为f(x)=，称X为服从参数为a、b的均匀分布。 b、分布图：见右图。x＞b 或x＜a概率为0，[a、b] 概率为1，[c、d]概率与长成正比。 c、常见服从均匀分布的有：舍人不确定度、数字示值的分辨力等。在缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为服从均匀分布。 （2）、正态分布（高斯分布） a、定义：如果随机变量X的概率密度函数为f(x)=，其中μ、σ为常数（σ＞0），称X为服从参数为μ、σ的正态分布，记为x~N（μ、σ2）。当μ=0、σ=1时，f(x)= ，称标准正态分布，记为x~ N（0、12）。 b、分布图：见下页 c、特点：①、图形以x=μ为对称轴，x=μ处有最大值 ，称μ为位置参数。 ②、因曲线与x轴所围成面积为1，当μ不变，改变σ，则σ越小，峰值越高，反之越平坦。σ可表征取值集中程度，称为精度参数。 ③x=μ±处曲线有拐点。 d、重要值： ①、当x~ N（0、12）时，F(X)=， 查标准正态分布可得： F(1) -F(-1)=0.6826 F(2) -F(-2)=0.9544 F(3) -F(-3)=0.9973 可见x几乎不在3σ外取值，σ越小，取值越集中。 ②、（了解）当x~ N（μ、σ2）时，对任何a＜b ，有： P[axb]=，采用换元积分法，变为标准正态分布。取， ，，则：P[axb]= 将a、b值带人，查标准正态分布表即可。 2、随机变量的数字特征 2.1、数学期望 a、定义：（连续型）设连续型随机变量x的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，称积分 为随机变量的数学期望或均值。即E（x)=。 b、常用随机变量的数学期望 均匀分布： 正态分布：E（x）=μ 2.2、方差 定义：设x是随机变量，若E[x- E（x）]2存在，称E[x- E（x）]2为x的方差，记为D（x）。方差的大小反映x的离散程度。D（x）大x则分散，小则集中。对于连续型随机变量： D（x）= 数学期望表示被测量的大小，方差用来表示测量品质的高低。 c、常见随机变量方差 均匀分布：D（x）=；正态分布：D（x）=σ 例：被测量x落在区间[a、-a]服从均匀分被，求数学期望、方差及标准差。 解：①、E（x）= ②、按定义计算：D（x）= = 按公式计算：D（x）= ③、标准差为：σ（x）= D（x）= ★置信因子（包含因子）以k表示，当分布不同时，k值也不同。 对正态分布：k、p对应值查表 对均匀分布：k= 对三角分布：k= 对反正弦分布：k= 3、基本术语及概念 3.1、测量误差（定义略） 误差与测量不确定度主要区别： 序号 测量误差 测量不确定度 1 有正负号的量 无符号的参数，用标准差或标准差的倍数或置信区间的半宽表示 2 表明测量结果偏离真值 表明被测量的分散性 3 客观存在，不以人的认识程度而改变 与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关 4 不能准确得到，用约定真值代替 可由信息进行评定，从而定量确定 5 按性质分为随机误差和系统误差 一般不必区分其性质，若需要区分时应表述为“由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量” 6 可以对测量结果进行修正 不能用不确定度对结果进行修正 3.2、实验标准[偏]差 对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s,按下式计算： ，即贝塞尔公式，用于计算单次测量标准差。称为平均值的实验标准差。在不确定的评定中，以作为测量结果的最佳估计，以作为由重复性引入的A类标准不确定度。 3.3、包含因子 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的大于1的数。包含因子一般以k表示。置信概率为p时的包含因子用kp表示。 3.4、置信概率 与置信区间或统计包含区间有关的概率值，符号为p，p=（1-α），α为显著性水平。当测量值服从某分布时，落于某区间的概率p即为置信概率。 3.5、相关系数 两个变量之间相互依赖的程度。它等于两变量之间协方差除以各自方差之积的正平方根，r(x、y)=。相关系数取值范围是（-1,1），当r=1时，表示两个