24.2.2_直线与圆的位置关系3.pptVIP

根据圆的轴对称性，存在与点A重合的一点B，且落在圆上，则OB是⊙o的一条半径，PB是⊙o的切线。 O P A B 你能发现PA与PB，∠APO与∠BPO之间有什么关系吗？ PA=PB、∠APO=∠BPO。 ∟ ∟ · o p A B 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 又∵OA＝OB，OP＝OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 · O P A B 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 · o p A B ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO 如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？ ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO ∴OP⊥AB，且OP平分AB C D AD与BD相等吗？ ⌒ ⌒ 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 我们学过的切线，常有 五个 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 四个 思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? I D 内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心. ． o 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。 A A B B C C 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。 ? A B C D E F x x y y O z z 解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm 依题意得方程组 x+y=13 y+z=14 x+z=9 解得: X=4 Y=9 Z=5 （1）∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(25°＋ 35 °) 练习： 如图，在△ABC中，点O是内心， 若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A B C O =120 ° ) 1 ( 3 2 ) 4 ( 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° = 35° ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° 例1 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A O C D P B E 解： (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. · P · O A B c 如图，P为⊙O 外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交 ⊙O于C，若PA＝6，PC＝2 ，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。 解：连接OA、AC，则OA⊥AP 在Rt△AOP中，设OA＝x 则OP＝ x＋2 ∴OA2＋PA2＝OP2 即 x2＋62＝（x＋2 ）2 解得x＝2 ，即OA＝OC＝2 ∴OP＝4 在Rt△AOP中，OP＝2OA ∴∠APO＝30° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠APB＝2∠APO＝60° ∴⊙O的半径为2 ，两切线的夹角为60° · A B C D E O 2 1