人口演化的数学模型.ppt

问题的提出 人口的增长情况是当前世界引起普遍关注的问题，早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了。 20世纪90年代，我们经常可以在报刊上看见关于人口增长的预报，说到20世纪末，或21世纪中叶，全世界（或某地区）的人口将达到多少多少亿。这些人口预报的数值是从哪里来的？准确不准确？ 你能不能对当地人口数目的演化进行一下估算？ 问题的分析 从整体来说，人口的变化由两个因素决定：出生和死亡。出生使得人口增加，死亡使得人口减少。 对于局部地区来说，除了出生和死亡外，影响人口的变化还有两个因素：迁入和迁出。迁入使得局部人口增加，迁出使得局部人口减少。 在迁入、迁出人口的差别不大时，人口的变化主要由出生率和死亡率决定。 根据上面的分析，我们不难建立起人口演化模型。 等比数列模型 分析 要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是当年的人口和以后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。 例如根据国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的平均年增长率为14.8‰ 。如果以后的年增长率保持这个数字，那么容易算出1年后我国人口为 11.6×（1＋0.0148）＝11.77(亿）， 10年后即2000年将为 11.6×（1＋0.0148）^10＝13.44（亿）。 这种算法用式子表示也十分简单。 等比数列模型 模型 记当年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则递推公式为 x k+1 = x k ( 1+ r ) (1) 而相应的通项公式，即预报公式为 x k = x 0 (1+r)^ k (2) 上面的公式给出了人口演化的一个简单模型。 从数学上说，(2)式表示一个等比数列的通项公式，上述模型又可以称为等比数列模型。 等比数列模型 检验 上面的模型是否正确？我们需要实践检验。 经检验，由(2)式给出的模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合。这说明了等比数列模型基本上是合理的。 然而当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与等比数列模型相比较时，却发现了相当大的差异。 例如，根据统计资料，1790年与1800年美国的实际人口分别为 x0 = 3.9 和 x1 = 5.3 (百万人)，由此可以推算出1790年到1800年的增长率为 r = (x 1 - x 0 ) / x 0 (3) 等比数列模型 检验 为了方便，我们取10年为时间单位，假定每10年的人口增长率 r = 35.9 % 保持不变，由等比数列模型可以推算出美国19世纪、20世纪的人口预报数。 下表列出了美国19世纪、20世纪的实际人口统计数据与这个模型的比较结果(单位为百万人)。 实际人口统计数据与理论模型预报结果的比较： 由表中的数据容易看出等比数列模型的预报结果远远超过了实际人口的增长，误差最高的时候达到了480%，这样的结果是绝对不能接受的。。 等比数列模型 误差分析 引起这么大的误差的原因究竟是什么呢？ 因为在等比数列模型中人口增长是按指数的形式变化的，因此人口增长率是个关键参数，必须认真分析。 下面让我们来看看每10年的实际人口增长率与理论增长率的情况： 上图说明造成人口预报有巨大误差的根源是等比数列模型对每10年人口的增长率估计不当。这个事实对 r 是常数的基本假设提出了异议。 为了得到较准确的结果，我们需要对等比数列模型进行修正。 阻滞增长模型 分析 根据表中给出的数据，容易看出美国人口每10年的实际增长率随着人口的增加而逐渐下降，并不是一个常数。 人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型。为什么会出现这种现象？ 阻滞增长模型 分析 为什么会出现这种现象？ 产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。 当人口较少时（相对于资源而言），人口增长率变化不大，通常可以近似地看作常数。 当人口增加到一定数量后，由于资源的限制，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少，再也不能作为常数处理了。 许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点。 阻滞增长模型 建立 由此看来，考虑到资源的限制后，必须修改等比数列模型关于人口增长率是常数这个基本假设。 不失一般性，我们可以将人口增长率 r 表示为人口 x的函数 r (x) ，而将自然资源和环境条件所能容纳的最