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常微分方程课程总结 第一章 绪论 §1.2微分方程的基本概念 （1）常微分方程偏微分方程 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。 常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。 （2）线性与非线性 一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式） （3）解和隐式解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y）=0 （4）通解和特解 通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. （5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。 第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 变量分离方程与变量变换 2.1.1、变量分离方程 2.1.2、可化为变量分离方程的类型 1.形如，称为齐次微分方程，令u＝,即y＝ux，于是＝＋，代入原方程，变形为＋＝（），整理得＝ 2.形如 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 （1），方程化为＝，有通解 （2）情形，令u＝，这时有＝＝是分离变量方程 （3）情形，若不全为零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式，因此＝0，＝0，交点（，令X＝－，Y＝－，化为， 。则原方程变形为＝ §2.2 线性微分方程与常数变易法 （1）一阶线性微分方程，其中在区间上是x的连续函数。若＝0，则变为， 称为一阶齐次线性微分方程，若，则称为一阶非齐次线性微分方程。 （2）是变量分离方程，解为（c是任意常数）。 （3）常数变异法，令，微分之，得到 代入原方程得到新方程，解得 得到通解 （4）伯努利微分方程 令，从而，均代入原方程得到 ,这是线性微分方程。 §2.3 恰当微分方程与积分因子 2.3.1 恰当微分方程 （1）简单二元函数的全微分： 2.3.2 积分因子 ，积分因子。 §2.4一阶隐式微分方程与参数表示 （1）形如， 引入参数，原方程变为，两边对求导，并以代入，得到，这是关于的一阶微分方程 （2）形如， 引入参数，原方程变为，两边对y求导，并以代入，得到，这是关于的一阶微分方程，设求得通解为，则方程通解为 （3）形如F（＝0 （4）形如F（＝0 第三章 一阶微分方程解的存在定理 §3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 （3.1） 这里是在矩形域： （3.2） 上连续。 定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz），使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件 （3.3） 其中,称为Lipschitz常数. 思路： 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。 构造近似解函数列 任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的 ，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4） 于是得到函数序列. 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.4)取极限,得到 即. 4) 是积分方程在上的连续解. 命题1 设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件 的解,则是积分方程 (3.5) 的定义于上的连续解.反之亦然. 命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式