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球与多面体的内切、外接 球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？ . r a 二、球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。 一、 球体的体积与表面积 ① ② 多面体的外接球 多面体的内切球 中截面 设为1 球的外切正方体的棱长等于球直径。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D. A B C D D1 C1 B1 A1 O 中截面 正方形的对角线等于球的直径。 . 球内切于正方体的棱 A B C D D1 C1 B1 A1 O 对角面 设为1 球的内接正方体的对角线等于球直径。 球外接于正方体 练习： 沿对角面截得： 1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1， ，已知空间中有一 个点到这四个点距离相等，求这个距离； 1 例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高， O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高 解法1： O1 A B E O C D 作 OF ⊥ AE 于 F F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E O A B C D 设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 解法2： 例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。 注意：①割补法，② 练习 P A O1 D E O 例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, G 连 AO 延长交 PD 于 G 则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D 解法1： A B C D O A B C D O 求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径 解法2： 球的内切、外接问题 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 P A O1 D E O 2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。 G 1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 ，求半球的表面积和体积。 第二题截图 A 3. C 1. 2. C