第01讲 1981年全国高数学联赛试题及详细解析第01讲 1981年全国高中数学联赛试题及详细解析第01讲 1981年全国高中数学联赛试题及详细解析第01讲 1981年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲：=a． 条件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑸ 给出长方体ABCD—A(B(C(D(，下列12条直线：AB(，BA(，CD(，DC(，AD(，DA(，BC(，CB(，AC，BD，A(C(，B(D(中有多少对异面直线？ A．30对 B．60对 C．24对 D．48对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y2-x?这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定t的取值范围是0≤t≤1?，M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2[来源:学,科,网Z,X,X,K] ⑺ 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p0和q0时，有三个实根 2．(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 0.021 0.27 1.5 2.8 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PC?QE+PD?QF2． 5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 【答案】B 【解析】乙(甲，但甲(乙，故选B. ⑶ 设α≠ (k≠0，±1，±2，……)，T=． A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负 【答案】C 【解析】T=0，选C． ⑸ 给出长方体ABCD—A(B(C(D(，下列12条直线：AB(，BA(，CD(，DC(，AD(，DA(，BC(，CB(，AC，BD，A(C(，B(D(中有多少对异面直线？ A．30对 B．60对 C．24对 D．48对 【答案】A 【解析】每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面．故共有5×12÷2=30对．选A． ⑹ 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y2-x?这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定t的取值范围是0≤t≤1?，M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为 ⑺ 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p0和q0时，有三个实根 【答案】C,D 【解析】画出y=x|x|及y=－px－q的图象：知A、B正确，C、D错误．选C、D． [来源:Z§xx§k.Com] 2．(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 0.021 0.27[来源:学科网ZXXK] 1.5 2.8 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c)