实验水箱水流量问题.doc

水箱的流量问题 一 实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图，选择恰当的曲线拟合该数表. 掌握分析实际问题的思想和方法，建立恰当的数学模型. 用已学过的数学实验内容解决实际问题. 二　实验原理 　　给定平面上的一组点（xk，yk），k＝1，2，…，n，寻求一条曲线，使它较好的近似这组数据，这就是曲线拟合，如图24.1. 　　最小二乘法是曲线拟合的常用的方法．最小二乘法的原理是，求，使达到最小．拟合时，选取适当的拟合函数形式 ， （其中称作拟合函数的基底函数.）为使取到极小值，将的表达式代入，对变量求函数的偏导数，令其等于零，得到由个方程组成的方程组, 从中求解（i＝0，1，2，…，）． 三　学习Mathematica命令 1. 求数据的拟合函数的命令 Fit 　　拟合函数 Fit[ ] 的一般形式是： Fit[data，funs，vars] 在这里data是数据，vars 为变量(可以是多个变量), funs为m+1个以vars为变量的基底函数. 其输出结果是以基底函数(funs)的线性组合形式为拟合函数的最佳拟合函数(最小二乘估计的结果). Fit命令既可以作曲线拟合, 也可以作曲面拟合. 这里只进行曲线拟合. 曲线拟合时的数据的格式为 {{x1，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}. 下面是作曲线拟合时常用的几种拟合函数的形式 Fit[data，{1，x}，x]: 用线性函数拟合数据 data . Fit[data，{1，x，x^2}，x]: 用二次函数2拟合数据 data. Fit[data，Table[x^i，{i，0，n}]，x]: 用x的 n 次多项式拟合数据data. 2. 多项式拟合函数PolynomialFit 　　Mathematica 在程序包 NumericalMath 中提供了多项式拟合函数 PolynomialFit. PolynomialFit 的一般形式是： PolynomialFit[data，n] 　　它按最小二乘法构造次多项式函数拟合数据 data. 例如输入 NumericalMath`PolynomialFit` p = PolynomialFit[{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, 3] 输出 FittingPolynomial[, 3] 这里虽然没有给出拟合多项式的解析表达式, 但在计算机中已经存在. 因此可以用来计算函数的近似值. 输入 p[10]（*计算 f（10）的近似值*） 得到函数的近似值100. 如果要拟合多项式的解析表达式, 输入 Expand[p[x]] 则输出 -7.10543×10–15+1.77636×10–15x+1.x2+0.x3 3. 矩阵转置命令Transpose 设M是一个矩阵, 则输入 Transpose[M] 以后得到的转置矩阵. 4. 去掉矩阵中非数值的列命令DropNonNumericColumn 如果矩阵中有非数值的列, 则在输入调用软件包命令 Statistics\DataManipulation.m 执行以后, 再输入 DropNonNumericColumn[M] 则在输出的矩阵中已经把含有非数值的列去掉了. 5. 在 Mathematica4.0 中作曲线拟合的一般步骤 　　在 Mathematica4.0 中作曲线拟合，可按以下步骤进行 （1）用 ListPlot[数据] 作散点图，观察曲线的分布形状，确定基底函数； （2）用 Fit[ ] 命令求拟合函数； （3）用 Plot[ ] 命令作拟合曲线的图形，然后用 Show[ ] 命令把散点图与拟合曲线的图形放在同一个坐标系内，观察拟合效果. 四　实验内容 1. 曲线拟合的例 例1　为研究某一化学反应过程中温度(℃)对产品得率(%）的影响, 测得数据如下: （℃） 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 （%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其拟合曲线. 解 输入点的坐标, 作散点图. 输入 b2={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70}, {160,74},{170,78},{180,85},{190,89}};(*将数据以表的形式输入*) fp=ListPlot[b2]（*描点*） 输出图24.2 图24.2 通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 用直线拟合. 输入 Fit[b2,{1,x},x] （*用 Fit 作拟合,这里是线性拟合*） 得拟合直线 -2.73939 + 0.48303 x 作图观