第1章 复数与复变函数第1 复数与复变函数第1章 复数与复变函数第1章 复数与复变函数.ppt

u v 4i 图a 4 图b 例2、 求下列曲线在映射 下的象 解法一（1） 代入原象曲线方程即得象曲线方程 (2) 代入原象曲线方程，得 w 平面内的一条直线。 解法二 代入原象方程得 化为实方程形式 （2）留作练习。 § 1.4 复变函数的极限和连续性 * * 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其运算 1.2 复平面上的曲线和区域 1.3 复变函数 1.4 复变函数的极限和连续性 §1.1 复数及其运算 一 复数的概念 1、产生背景 2、定义：形如 的数称为复数，其中 称为虚单位，x, y为任意实数, 且 分别称为 z 的实部与虚部。 二、复数的表示法 1、(复平面上的)点表示 ------用坐标平面上的点 r 此时的坐标面（称为复平面）。 2、(复平面上的)向量表示----- （1）模—— 的长度 ，记为 ，则 （2）辐角( )—— 以 轴正向为始边， 所在射 线为终边的角 (周期性) 辐角主值: 注 3、三角表示--- 由 得 欧拉公式 5、代数表示------ 复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。 N S P y z Z x 6*、复球面表示------  将扩充复平面中 的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。 三、复数的运算 1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式 代数形式： 和实系数多项式运算相似，不同之处： 运算律： 用复数的三角形式进行乘(方)除运算 3、共轭复数及运算性质 z z y x o 四、复数的n次方根 §1.2 复平面上的曲线和区域 一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程 两种形式。 由 代入 知 曲线C的方程可改写成复数形式 若令 ，而 ，则 曲线C的参数方程等价于复数形式 。 二 简单曲线与光滑曲线 三 区域 (1) 区域的概念 邻域: 设G 为复平面上的点集， 界点: 点P称为点集G的边界点，若点P的任一 邻域内既包含G的点又包含不属于G的点. G的所有边界点所成多的集合称为G的边界. 开集: 点集G称为开集，若G的每一点都是它的内点. 定义 区域: 一个复平面上的集合D称为区域，若 满足下二条件: 1 D是一个开集，即它是由内点组成的集合; 2 D是连通的，即对D中任意两点，总有属于D 的折线连结它们 . 闭区域: 区域+边界. 简称闭域. 有界域和无界域: 一个区域D称为有界的, 若D可以 包含在一个以原点为中心的某个圆内部，即 存在正数M＞0，使任给z∈D，都有|z|＜M. 否则 称它是无界的，即 任给M＞0，存在z∈D，使 |z|＞M. 复平面上有界的区域和无界的区域分别称为 有界域和无界域. (2) 单连通区域和多连通区域 定义 设D是复平面上的一个区域，若D中任一简单闭曲线的内部总是完全属于D，则称D为单连通区域. 否则称为多连通区域. 单连通区域的特征: 属于D的任一简单闭曲线，在D内可经过连续的形变而收缩为一点。形象地说，没有“洞”. §1.3 复变函数 一 复变函数的概念 z: 自变量 w：因变量 定义域 值域 单值函与多值函数 今后若无特殊声明，所讨论的复变函数 均为单值函数. 复变函数可用二元实函数表示 由此可见，w=f(z) 实际上相当于两个关系式： u=u(x,y), v=v(x,y). 二 映射 注意：不是一一映射的映射也有逆映射。 与一元实函数类似，有复合函数. 例 * *