第1章复数与复变函数2第1复数与复变函数2第1章复数与复变函数2第1章复数与复变函数2.ppt

§1.2 复数的三角表示 §1.2.1 复数的模与辐角 o x y (z) P(x,y) x y ? 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 的θ0称为辐角Argz的主辐角， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 计算 argz(z≠0) 的公式 §1.2 复数的三角表示 §1.2.2 复数模的三角不等式 o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1 复数的加减法则同向量的加减法则一致。复数加法可用向量相加的三角法则在图中做出。 §1.2 复数的三角表示 §1.2.3 复数的三角表示 例.将下面复数转化为三角形式 得 §1.2 复数的三角表示 §1.2.4 用复数的三角表示作乘除法 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1) z2=r2(cosθ2+isinθ2) 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 Arg(z2/z1)=Argz2-Argz1 根据定理1 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1) z2=r2(cosθ2+isinθ2) 则 即： §1.2 复数的三角表示 §1.2.5 复数的乘方与开方 由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)。 （定义）n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 棣莫佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=r (cos θ+isin θ) ，求所有的满足ωn=z 的复数ω。 复数的开方——乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o