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第1章 建立数学模型 本章作为整个课程的导言，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤。 目录 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗 1.4 建模示例之二 商人们怎样安全过河 1.5 建模示例之三 如何预报人口的增长 1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类 1.8 数学建模能力的培养 1.1 从现实对象到数学模型 1.1.1 原型与模型 原型（Prototype） 原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。 通常称为 系统（System）、 过程(Process) 原型又称为现实对象、研究对象、实际问题等。 模型（Model） 模型（Model）是指人们为了某个特定目的，对原型的某一部分信息进行简缩、抽象、提炼而构照出来的原型替代物。 模型与原型的关系 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的，模型只反映原型的与特定目的有关的那些方面和层次。 模型虽然不是原型的复制品，却集中反映了原型中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观事物的认识。 模型可以分成两类 物质模型 （形象模型） 包括 直观模型 物理模型 等 理想模型 （抽象模型） 包括 思维模型 符号模型 数学模型 计算机模拟 等 数学模型 数学模型(Mathematical Model)是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。 例如飞机空气动力学的微分方程模型。 1.1 从现实对象到数学模型 1.1.2 什么是数学模型 “航行问题” 代数应用题： 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各是多少？ 求解航行问题 [解]：用x , y分别代表船速和水速，列出 方程： 30(x + y)=750 , 50(x - y)=750 求解得到 x=20，y=5 答：船速每小时20公里，水速每小时5公里 航行问题的数学模型 1、根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设 （航行中设船速和水速为常数）； 2、用字母表示待求的未知量 （x、y分别表示船速和水速）； 航行问题的数学模型 3、利用某些规律 （匀速运动的路程等于速度乘以时间） 列出数学式子 （二元一次方程组）； 4、求出数学解答 （x=20、y=5）； 航行问题的数学模型 5、用数学解答解释原问题 （船速和水速分别为20公里/小时和5公里/小时）； 6、用实际现象验证上述结果 （航行问题不需要做这一步）。 数学模型与数学建模 数学模型（Mathematical Model）可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模（Mathematical Modeling）就是建立数学模型。 1.2 数学建模的重要意义 数学建模历史悠久 数学，作为研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在人类的文明史中，一直和人类生活的实际需要密切相关。 作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学模型与数学有同样悠久的历史。 计算机技术促进数学建模 数学模型的求解过程往往需要大量的计算，过去在高性能电子计算机尚未产生之前，缺乏大规模计算的技术手段，限制了数学建模的应用和发展。 进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。 数学建模的意义 1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地 2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具 3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模提供了广阔的新天地 专家的话 “数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术” “高技术本质上是一种数学技术” 从现实问题到数学世界的映射 一般，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、设计、预报、决策、控制、优化、规划、管理、仿真、可视化、数据压缩等方面的定量结果时，常需要数学模型 模型（Model）+ 算法（Algorithm）+ 程序（Program）= 映射(MAP) 从真实到虚拟、从现实问题到数学世界的映射。 1.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 问题提出 把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需挪动几下，就可以使四只脚同时着地，放稳了 怎样用数学语言来表述？ 怎样用数学工具来证明？ 模型假