甘肃省兰州市2012届高三诊断性考试数学（理）试题.doc

甘肃省兰州市 2012届高三诊断考试 数学（理）试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。题号后标注“理科”的试题为理科考生解答，标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答。 2．本卷满分150分，考试用时120分钟。 3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。 第I卷（选择题 共60分） 一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足（为虚数单位），则z= （ ） A．i B．-i C．2-i D．2+i 2．函数的反函数为 （ ） A． B． C． D． 3．设等比数列的前n项和为，若，则= （ ） A．2 B． C． D．3 4．已知点，则“”是“点在圆外”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量互相垂直，且为锐角，则函数的一条对称轴是 （ ） A． B． C． D． 6．曲线在点（0，-2）处的切线与直线所围成的区域内（包括边界）有一动点，若，则z的取值范围是 （ ） A．[-2，2] B．[-2，4] C．[-4，-2] D．[-4，2] 7．已知函数为奇函数，当时，，则不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 8．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．若函数，又，且的最小值等于，则正数的值为 （ ） A． B． C． D． 10．过点M（-2，0）的直线与椭圆交于P1、P2，线段P1P2的中点为P。设直线的斜率为，直线OP（O为坐标原点）的斜率为，则等于 （ ） A．-2 B．2 C． D． 11．正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线。若一个正n棱柱有10条对角线那么n= （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线上一点，O为坐标原点，已知，且，则双曲线C的离心率为 （ ） A．2 B． C． D．4 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．= 。 14．三棱锥P—ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P—ABC外接球的表面积是 。 15．若，则= 。 16．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（A为锐角） （1）求A的大小； （2）若a=1且，求的面积。 18．（本小题满分12分） 某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为 （1）求三人中恰有一人获奖的概率； （2）记三人中获奖的人数为，求的数学期望。 19．（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧面ACC1A1是的菱形，且侧面底面ABC，D为AC的中点。 （1）求证：平面平面ACC1A1； （2）若点E为AA1上的一点，当时，求二面角A—EC—B的正切值。 20．（本小满分12分） 已知数列中 （1）求数列的通项公式； （2）已知的前n项和为，且对任意正整数N，都有成立。 求证： 21．（本小题满分12分） 已知点M是直线上的动点，为定点，过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P。 （1）求点P的轨迹方程； （2）经过点且与x轴不垂直的直线与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得为正三角形，求实数a的取值范围。 22．（本小题满分12分） 已知函数为自然对数的底数。 （1）若时，恒有成立，求实数m的取值范围； （2）若，证明