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23.2解直角三角形及其应用(第4课时)
霍邱县乌龙镇中心学校龚家林 今,我以九二为荣耀 明,社会有我而精彩 23.2解直角三形及其应用 (第4课时) 1、使学生懂得什么是横断面图,理解坡度和坡角的概念.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题. 2、进一步探索解直角三角形在实际问题中的广泛应用. 3、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 学习目标 用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: (1)审题,通过图形(题目没画出图形的,可自己画出示意图),弄清已知和未知; (2)找出有关的直角三角形,或通过作辅助线产生有关的直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题; (3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形. 温故而知新 坡度(坡比)、坡角: (1)坡度也叫坡比,用i表示. 即i=h/l,h是坡面的铅直高度, l为对应水平宽度,如图所示 (2)坡角:坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系:i=tanα. 引入新课 例1、一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD.(单位是米,结果保留根号) A B C D E F 4 6 α 例2、如图一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米) 解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F,由题意可知 DE=CF=4.2(米), CD=EF=12.51(米). 在Rt△ADE中,因为 所以 在Rt△BCF中,同理可得 因此 AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米) 答:路基的下底宽约为27.1米 A B D C F E 解:作BE⊥AD, CF⊥AD.在Rt△CDF中, ∴∠D≈21°48′ ∴CF=CD·sinD =60×sin21°48′≈22.28(m) DF=CD·cosD =60×cos21°48′≈55.71(m) ∴AE=3BE =3CF=66.84(m), ∴AD=AE+BC+DF =66.84+6+55.71 ≈128.6(m). 例3、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2.5,斜坡AB的坡比为1:3,求:斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1′,宽度精确到0.1m) 答:斜坡CD的坡角约为21°48′;坝底的宽约为128.6米 练习1、小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m,则他升高了( ) A 2、如图,一水库迎水坡AB的坡度 则该坡的坡角α=______ 30° 3、公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道,若点E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF= ,BF=3米,BC=1米,CD=6米 求(1) ∠D的度数;(2)线段AE的长. 【解析】(1)∵四边形BCEF是矩形, ∴∠BFE=∠CEF=90°,CE=BF,BC=FE, ∴∠BFA=∠CED=90°, ∵CE=BF,BF=3米, ∴CE=3米, ∵CD=6米,∠CED=90°, ∴∠D=30°. ∴AE=AF+EF=AF+BC=( ????+1)米. 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l 化整为零,积零为整,化曲为直的解决问题的策略 与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢? h h α α l l 拓宽视野 我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h. h α l 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容. 1.进一步理解坡度和坡角的概念; 2.能用解直角三角形的方法解决横截面问题; 3.掌握用解直角三角形的方法的解题步骤. 课堂小结 用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: (1)审题,通过图形(题目
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