第5章 拉普拉斯变换1第5 拉普拉斯变换1第5章 拉普拉斯变换1第5章 拉普拉斯变换1.ppt

信号与系统 第5章 拉普拉斯变换 引言 5.1 拉普拉斯变换 5.共轭特性 若: 则: 若: 6. 时域卷积特性 则: 例: 已知信号 ， ， 为实数，计算卷积 。 解： 7. 时域微分特性 若： 则： 思考： 8. 时域积分特性 若： 则： 9.s域微分特性 若： 则： 10. 初值定理和终值定理: 如果 是因果信号， 的拉氏变换为 （1）初值定理 在原点不含冲激 及其各阶导数，则 （2）终值定理 的收敛域包含虚轴，则 * 信号 响应 系统 ？ * 信号 响应 系统 ？ 优点： 引言 局限性： 5.1 拉普拉斯变换 根据傅里叶逆变换： 5.1 拉普拉斯变换 5.1 拉普拉斯变换 例2： 求单边指数信号 和 的拉氏变换， 其中 为复数。 当 时 ， 5.1 拉普拉斯变换 同理 ， 5.1 拉普拉斯变换 5.1 拉普拉斯变换 说明： 5.1 拉普拉斯变换 收敛域:记为ROC (region of convergence) 拉氏变换的ROC，可将其图示在S平面的复平面上 收敛域的图示： 5.2 拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换F(s) 通常可表示为： 极点：使D(s)=0 的根p1，p2 ， …… ， pN ， 在s平面上用“×”表示。 2.拉普拉斯变换的零点和极点 5.2 拉普拉斯变换的收敛域 零点：使N(s)=0 的根Z1，Z2 ， …… ， ZM ， 在s平面上用“o”表示。 F(s)可用零点和极点表示为： 零极点图：将F(s)的零点和极点标注在S平面上，称为拉氏变换的零极点图。 5.2 拉普拉斯变换的收敛域 例：已知信号 求该信号的拉氏变换F(s) ，并画出其零极点图。 解： 5.2 拉普拉斯变换的收敛域 零点： 极点： 在S平面上， 的零极点图及ROC如下图所示 5.2 拉普拉斯变换的收敛域 性质3：如果信号是时限信号f(t)且是绝对可积的， 那么ROC是整个s平面。 性质1：在s平面内，拉普拉斯变换的收敛域是平行 于jω轴的带状区域。 性质2：如果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是有理式， 则ROC内不包含任何极点。 3.拉普拉斯变换收敛域的性质 性质4：如果f(t)是右边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为最右边极点的右侧s平面。 性质5：如果f(t)是左边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为最左边极点的左侧s平面。 性质6：如果f(t)是双边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为两极点间平行于虚轴的 带状区域或空集 3.拉普拉斯变换收敛域的性质 例: 如果信号f(t)的拉氏变换为： 以极点为界，可将平面分成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。讨论不同的ROC及其对应的时间信号f(t)。 (1)若收敛域ROC为为区域Ⅰ，即σ -3，则 (2)若收敛域ROC为为区域Ⅲ，即σ2 ，则 (3)若收敛域ROC为为区域Ⅱ，即-3σ2 ，则 4.傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系 当信号 的拉氏变换 存在且收敛域包含虚轴时，其傅氏变换 可用其拉氏变换表示为 5.3 拉普拉斯变换的性质 1.线性 则： 由于可能出现极点和零点抵消，收敛域可能大于交集。 若： 例：已知 ， 求 的拉普拉斯变换。 解： 5.3 拉普拉斯变换的性质 若： 则： 2.时移特性 拉氏变换的线性 例：求 的拉普拉斯变换。 解： 2.时移特性 3.s域移位特性 若： ，且 则： 4.尺度变换特性 若： ，对 则： 例：设信号f(t)的拉氏变换为F(s)，收敛域:σσ0。求信号 的拉氏变换，并标明收敛域。 尺度变换特性 s域移位特性 解：