第5章 抽样与抽样分布第5 抽样与抽样分布第5章 抽样与抽样分布第5章 抽样与抽样分布.ppt

当不重复抽样时，可以证明，样本均值 仍服从正态分布，其均值仍为总体均值μ，而方差变为 其中(N-n)/(N-1)为修正系数。当Nn时，修正系数可取近似值1，即(N-n)/(N-1)≈1。 在样本均值的抽样分布中，当总体服从正态分布时，如果总体标准差σ未知，则用样本标准差s代替。由t分布的定义，统计量 服从自由度为n-1的t分布，即 例题分析 【例】考察μ=100和σ=20的正态总体。如果随机选择大小为16的一组样本，求这组样本的均值落在90与110之间的概率。 解：由题意有 例题分析 【例】幼儿园里孩子的身高是关于均值为39英寸、标准差为2英寸的近似正态分布。抽取大小为25的一组随机样本，计算均值，求该均值在38.5与40.0英寸之间的概率。 解：由题意有 例题分析 【例】参看例题2中幼儿园孩子的身高，在什么样的正中央范围内样本大小为100的样本均值的90%抽样分布落入其中？ 解： 例题分析 二、样本比率的抽样分布 样本比率p：样本中具有某种性质的单位n0与全部单位n总体之比p=n0/n 总体比率π：总体中具有某种性质的单位N0与全部单位N总体之比π=N0/N 如果从总体中简单随机抽样，则每次抽中的单元具有性质A的概率为π。从总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，则该样本中具有性质A的单元的个数随机变量X服从参数为(n,π)的二项分布，即X~B(n,π)。 由伯努利中心极限定理，当n充分大时，随机变量X近似服从均值为nπ，方差为 nπ(1-π)的正态分布，即 所以样本比率p=X/n近似服从均值为π，方差为π(1-π)/n的正态分布，即 样本比率抽样估计中，当np≥5，且 n(1-p) ≥5时，认为样本容量n充分大。 在不重复抽样的条件下，用修正系数对样本比率的方差加以修正 所以 【例】某地招录考试中，录取比率为10%，现随机抽取了100名考生，并计算这100名考生的录取比率。 试计算这100名考生中录取比率低于7%的概率。 在什么样的正中央范围内样本容量为10000的样本均值以95%的概率落入其中？ 三、样本方差的抽样分布 由卡方分布的定义，对来自正态总体的简单随机样本，统计量χ2=(n-1)s2/σ2服从自由度为n-1的卡方分布，即 综上，我们不难发现，抽样分布给出了样本统计量和其对应的总体参数之间的关系，为抽样估计奠定了坚实的理论基础。 抽样分布形式 样本统计量 样本均值 样本比率p 样本方差s2 大样本 大样本 正态总体 （小样本） 正态分布 t分布 正态分布 χ2分布 5.4 SPSS在概率论中的应用 思考题： 假设一个总体共有6个数值： -6，-5，-1，3，4，8. 从中按重复抽样的方式抽取n=2的随机样本。 求样本均值 的抽样分布。 t(n-1)分布的形状类似标准正态分布，但由于t(n-1)的方差大于1（当n3时，(n-1)/(n-3)1），所以t(n-1)分布比标准正态分布更分散。即t(n-1)的概率密度函数是中央部分较标准正态分布低，而两尾部分则较标准正态分布高。 当抽样数目n增大时，t(n-1) 的方差越来越接近1，同时t(n-1)分布的形状也越来越接近标准正态分布。理论上，当n→∞时t(n-1)与标准正态分布完全一致。一般认为n≥30就说t(n-1)与标准正态分布非常接近。 对于给定的α(0α1)，称满足条件 的点tα(n)为t分布上的α分为点。 由t分布概率密度函数的对称性有 t分布α分为点的求法： 对于n≤45的α分为点可查表求得； 当n充分大（n45）时，近似地有 例题分析 n=9, α=0.05, 求t0.05(9) n=9, α=0.95, 求t0.95(9) n=18, 求t0.025(18)及t0.975(18)，使得P(t0.975(18)≤t≤ t0.025(18))=0.95 n=50, α=0.05，求t0.05(50) 12. F分布 设随机变量U~χ2(n1)，V~χ2(n2) ，且U,V独立，则随机变量 服从自由度为(n1,n2)的F分布，记为F(n1,n2)。 由定义可知，如果F~F(n1,n2) ，则1/F~F(n2,n1) 。 对于给定的α(0α1) ，称满足 的点Fα(n1,n2)为分布F(n1,n2)的α分位点。 容易证明 【例5.5】求F0.05(10,5)和F0.95(5,10) 。 二、大数定律与中心极限定理 大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果稳定性的一系列定理的总称 独立同分布大数定律——设X1, X2, …, Xn是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(