第5章-课件-5-1(5. 向量及其线性运算 5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示)第5章-课件-5-1(5.1 向量及其线性运算 5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示)第5章-课件-5-1(5.1 向量及其线性运算 5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示)第5章-课件-5-1(5.1 向量及其线性运算 5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示).ppt

5.1 向量及其线性运算5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示 1. 向量的加减法 2. 向量与数的乘法 1、空间点的直角坐标 2、空间两点间的距离 1. 向量在轴上的投影 1. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 六、向量的模与方向余弦的坐标表示式 6. 向量的投影定理(2) （可推广到有限多个） 五、向量的分向量与向量的坐标 由例5知 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： 2. 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第5章 空间解析几何 高等数学A 5.1 向量及其线性运算 5.2 空间直角坐标系与向量坐标表示 5.2.1 空间直角坐标系 5.1.3 向量的线性运算 5.1.2 向量的概念 5.1.1 引 例 定义及向量的表示 向量的模、单位向量与零向量等 向量的加减法及运算规律 向量的数乘法及运算规律 向量线性运算习例1-2 习例3-4 5.2.2 向量的坐标 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 向量的模与方向余弦的坐标表示式 向量坐标运算习例7-9 向量线性运算及其坐标表示 引 例：如图所示，一质量为m的物体受到外力F的作用 做直线运动，不计摩擦力. （1）物体的加速度是多少？方向如何？ （2）物体在t时刻的速度是多少？方向如何？ （3）经过t时间物体的位移等于多少？方向如何？ 答案：（1）a=F/m, 方向向右； （2）v=v0+at, 方向向右； （3）s=v0t+at2/2, 向右移动. F F m m 向量的定义: 一、向量概念 注意：向量除了与标量一样有大小以外，还有方向. 定义5.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）. 常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 以M1为起点、M2为终点的有向线段所表示的向量记作 向量的表示 也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量. 2. 单位向量：模为1的向量， 或 . 1. 向量的模：向量的大小或长短， 或 | | . 3. 零向量：模为0的向量， .零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的. 4. 自由向量：不考虑起点位置的向量. 5. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 6. 负向量：大小相等但方向相反的向量. 7. 向径： 8. 平行向量： 两个非零向量如果它们的方向相同或者相反. 9. 共面向量： 设有k(k3)个向量,当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面. 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的线性运算 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） 减法： 设 是一个数，向量 与数 的乘积规定为 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系： 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 注： 向量线性运算习例 例1. 化简 例2. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 例1. 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 三、空间直角坐标系 Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 空间直角坐标系习例 例3. 求证以 , , 三点为定点的三角形是一个等腰三角形. 例4. 设 在 轴上，它到 的距离为到点 的距离的两倍，求 点的坐标. 解 原结论成立. 例3. 求证以 ,