第6讲 反比例函数图象中基图形面积的应用第6讲 反比例函数图象中基本图形面积的应用第6讲 反比例函数图象中基本图形面积的应用第6讲 反比例函数图象中基本图形面积的应用.doc

第五讲 反比例函数图象中基本图形面积的应用 例3、（2008福建福州）如图4，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的 阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 评析：根据函数图象性质以及利用整体思想容易求得2-0.5=1.5, 本题也可以分别直接计算再求和. 例4、（2007福建福州）如图5，已知直线与双曲线 交于两点，且点的横坐标为． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为8， 求的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标． 评析：这是一道压轴题，它以双曲线与三角形、四边形的面积主线。 （1）k=8 （2）思路一：如图5－1，补成矩形DMON 点在双曲线上，当时， 点的坐标为． 过点分别做轴，轴的垂线，垂足为， 图5-1 ，，，． ． 思路二：如图5－2， 过点分别做轴的垂线，垂足为， 则 所以 解答如下: 点在双曲线上，当时，． 点的坐标为． 点，都在双曲线上， 　　． ． ，． （3）只要将以A、B、P、Q为顶点平行四边形面积转化为三角形AOP的面积即可，同时注意P点的位置，因此需要分类讨论。 反比例函数图象是关于原点的中心对称图形， ，．四边形是平行四边形． ． 设点横坐标为，得． 过点分别做轴的垂线，垂足为， 点在双曲线上，． 若，如图5－3， ， ．． 解得，（舍去）．． 若，如图5－4，， ．， 解得，（舍去）．． 点的坐标是或． 例5 （08浙江湖州）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图6-1所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求证：与的面积相等； 图6-1 （2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 评析：本题命题思路与例四类似，主要考查反比例函数的图象性质与图形的面积等。 （1）证明：设，，与的面积分别为，， 由题意得，． ，． ，即与的面积相等． （2）由题意知：两点坐标分别为，， ， ． 当时，有最大值． （3）如图6-2，存在符合条件的点， 它的坐标为． 图6-2 例6 （08山东滨州）（1）探究新知：如图7-1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. （2）结论应用：①如图7-2，点M、N在反比例函数y=的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN∥EF. ②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图7-3所示，请判断MN与EF是否平行. 评析：这是一道设计新颖、培养学生探究能力的好题。 （1）证明：分别过点C、D作 垂足为G、H，则 图7-1 （2）①证明：连结MF，NE 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图象上， ∴， 图7-2 由（1）中的结论可知：MN∥EF。 ②MN∥EF。 图7-3 三、反比例函数中的面积问题 【例3】（眉山市）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为A．12 B．9 C．6 D．4【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面积为，同 时由于D为OA的中点，设C（a，b），则， ∴ab=-6，则BO×BC=6，∴ △CBO的面积为3，所以△AOC的面积为【思路感悟】过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为，相应对角线所分成的两个三角形的面积均为。 【迁移训练】（泉州南安市）如图4 ，已知点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B． （1）则△AOC的面积=　 　，（2）△ABC的周长为　 OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N． （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； （2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有