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第六章 拉普拉斯变换 6.0 引言 回顾：如何引入傅里叶变换—— 1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。 2.复指数信号是LTI系统的特征函数 复指数信号： 时——傅立叶变换 推广为任意s值——拉普拉斯变换 除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳定系统的分析 缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰 6.1 拉普拉斯变换 6.1.1 定义 已知：LTI系统对 的响应为： 其中 对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（ L）定义为： s为复数： 当实部为0，为傅立叶变换 另有： 即： 例 1 ： ， 为实数，求其傅立叶变换和拉氏变换 解： —拉普拉斯变换的收敛域 只有 时，才能令 而求得X(jw) 例2： 求拉氏变换 解： 可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于收敛域不同。 收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平面）。 注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。 例3 求X(s) 解： Re{s}-2 Re{s}-1 Re{s}-1 6.1.2 零极点图 上述各X（s）称为有理的， 只要x(t)是实指数或复指数的线性组合， X（s）就一定是有理的 对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子多项式的根——零点 分母多项式的根——极点 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶极点。 例4 ？X(s) s为任意值 Re{s}-1 Re{s}2 Re{s}2 因为ROC不包括 jw的轴（即 Re{s}=0） 所以x(t)无傅立叶变化 6.2 拉普拉斯变换收敛域 极点和ROC的关系； 极点、ROC与信号时域性质的关系 性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的带状区域组成。 由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件）， 要求 ，仅与s的实部 有关 有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝对可积 F收敛 性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛） 性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可积，那么ROC为整个S平面。 证明：拉氏变换收敛 绝对可积， 欲证对所有S，有 (1) 当 上式化为 在ROC内 （2）当 （3）当 对所有s ， 成立 即ROC为整个S平面 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果Re{s}= 位于ROC内，那么Re{s} 的全部s值都一定在ROC内。 右边信号：指 时，x(t)=0 证明：因为x(t)的拉氏变换对 收敛， x(t)是右边信号， 对于