第07章：最优控制的计算方第07章：最优控制的计算方法第07章：最优控制的计算方法第07章：最优控制的计算方法.ppt

于是线性化后的正则方程（7-84）中的系数阵 和驱动项 都已确定，解这个非齐次时变微分方程，并用边界条件 和 以决定通解中的未定常数，就完全确定了 ，这就完成了一次迭代。当满足（7-87）式时，停止计算，求解结束。 7.3 小结 1． 最优控制的计算方法可分为直接法和间接法两大类。直接法中我们列举了梯度法和共轭梯度法。间接法中列举了边界迭代法和拟线性化法。 2． 直接法的特点是：在每步迭代中并不满足哈密顿函数 取极小的必要条件，只是在迭代终了才满足这个条件；另外积分状态方程时是从 ，而积分协态方程时是从 。由于状态和协态的稳定性是相反的，所以这种双向积分，可使最优化过程非常稳定。这可举一简单例子来说明。 例 7-5 （7-98） （7-99） 解： （7-100） 于是协态方程为 （7-101） 设 ，则从 ， 收敛，而 发散。若从 ，则 就变为收敛了。 解这两个方程，得 （7-102） （7-103） 3． 梯度法是利用梯度信息 来不断改善对控制函数 的估计，最后满足 的必要条件。这是一种简单又稳定的算法，几乎对所有的 的初始估计都有很好的收敛性。但在远离最优解时收敛速度快，在接近最优解时收敛得慢（原因在于 ）。 共轭梯度法比梯度法稍微复杂些，但收敛速度也快些。同样，在接近最优解时，共轭梯度法收敛速度变慢。要加速接近最优解时的收敛速度可用二阶变分法，不过这种方法的计算复杂程度要增加很多。 4． 间接法的特点是：在每步迭代中都满足 取极小的必要条件；另外，它同时从一个方向（从 或从 ）积分状态和协态方程。 由于状态和协态的稳定性相反，这就使得对边界条件的初始估计非常敏感。尤其当终端时刻远远大于系统的最小时间常数时，收敛性可能很差。 5． 边界迭代法是在每步迭代中不断改善对缺少的初始条件的估计去满足给定的终端条件（也可改善对缺少的终端条件的估计去满足给定的初始条件），这种方法对初始估计（如 ）是非常敏感的，只有在能获得良好的初始估计时，才建议使用这种方法。 拟线性化法将非线性正则方程围绕上一步的估计解轨迹 线性化，递推解出 最后满足正则方程。这种方法对初始估计 可能不如边界迭代法对初始估计 那么敏感。并且求线性微分方程的解也比较容易。 （1） 选 ，代入状态方程和协态方程（7-54）、（7-55）、（7-62）和（7-63）， 时的计算 可求得 积分可得 梯度向量 共轭梯度 。 （2） 时 ， 用一维寻优来决定。将 代入状态方程（7-54）、（7-55）和协态方程（7-62）、（7-63），得 积分得 可求得 的最优值为 于是 由（7-62）式 积分上式可得 共轭系数 共轭梯度 （3） 时，控制量为 同以上步骤，将 代入状态方程和协态方程，求出 对 寻优，可得 ，于是 由 所以这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再用（7-50）重新迭代，寻找共轭梯度方向。 可以证明 ，即为最优控制。这只要证明 即可。 7.2 间接法 （一）边界迭代法 这个方法的特点是逐步改善对缺少的初始条件的估计，以满足规定的边界条件。它的原理如下。 可解出 ，将它表示为 和 的函数，即 利用哈密顿函数H取极小的方法 （7-6