特征向量与特征方程.ppt

问题：使A对角化的矩 阵P是唯一的吗？ 解： 注：也可求正交阵P, 从而P-1=Pˊ来求A. 解： 三 小结 2 实对称矩阵的对角化 1 实对称矩阵的一些性质 第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 本章主要介绍矩阵的特征值与特征向量，进而引出相似矩阵和矩阵的对角化，最后针对实对称矩阵进行对角化。 第一节 矩阵的特征值与特征向量 定义1 设A是 n 阶矩阵，如果存在数 ? 和 n 维非零列向量? 使得 A ? = ? ? (5.1) 成立，那么，这样的数 ? 称为方阵A的特征值， n 维非零列向量 ? 称为 A 对应于特征值 ? 的特征向量。 如果α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量, 则α的任何一个非零倍数kα也是A的属于特征值λ的特征向量, 因为从(5.1)式可以推出 这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的, 相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。 根据定义, 若α 为n 阶矩阵的属于特征值λ的特征向量，则α 为齐次线性方程组 (A-λE)X=0，即 的非零解，反之亦然。 它有非零解的充要条件为|A-λE|=0 上式是以λ为未知量的一元n次方程，称为矩阵 A的特征方程。 其左端|A-λE|是λ的n次多项式， 记为f (λ)，称为方阵A的特征多项式。 求矩阵A的特征值和特征向量的步骤： 的特征值和特征向量 例1 求矩阵 解：A的特征多项式为 解：A的特征多项式为 例2 求 的特征值和特征向量 设n阶矩阵A=(aij)有n个特征值为λ1, λ2,…, λn, (k重特征值算作k个特征值)，则 其中 是的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作tr(A)。 例3 设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征值。 矩阵特征值、特征向量的性质 性质1 方阵A与AT 的特征值相同。 性质3（定理1）设λ1, λ2,…, λn是矩阵A的互不相同的特征值，α1, α2,…, αn是其对应的特征向量。则α1, α2,…, αn是线性无关的。 推论1 设λ1, λ2,…, λs是n阶矩阵A的S个互不相同的特征值，对应于λi的线性无关的特征向量为αi1, αi2,…, αir(i=1,2,…,s)。则由所有这些特征向量构成的向量组 线性无关。 小结 矩阵的特征值、特征向量的概念 矩阵的特征值、特征向量的计算 矩阵的特征值、特征向量的性质 第二节 相似矩阵和矩阵的对角化 本节先给出相似矩阵的概念，然后介绍把方阵进行对角化。 一、相似矩阵 对角矩阵是最简单的一种矩阵, 现在考虑对 于给定的n阶方阵A, 是否存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP为对角矩阵, 这就称为把方阵A对角化。 为此, 首先给出相似矩阵的概念。 定义1 设A, B都是n阶矩阵，若有可逆阵P, 使得 P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵 ，或说A与B相似, 记A～B 对A进行的运算P-1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。 由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系, 具有如下性质 (1) 反身性 A～A； (2) 对称性 若A～B, 则B～A； (3) 传递性 若A～B,B～C, 则A～C。 定理1 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值相同。 证：设A～B ，则存在可逆阵P, 使得P-1AP=B， 推论1 相似矩阵的行列式相同, 迹相同, 秩也相同。 二、矩阵的对角化 定理2：n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量. 证明： 充分性 设矩阵A有n个线性无关的特征向量α1, α2, …,αn它们对应的特征值分别为λ 1, λ2 , …,λ n 联系上节定理1，可得 推论2 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则 A与对角阵相似。 当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化。 推论3 n 阶矩阵A的每一个ri 重特征值对应有ri (i=1,2,…,s)个线性无关的特征向量的充要条件是A相似于对角矩阵。 例1 矩阵A能否对角化？若能,求出对角阵Λ及相似变换矩阵P,使P-1AP=Λ,若不能,说明理由。 解: 先求特征值及对应的特征向量 A的特征值对应的特征向量为 矩阵A可对角化，且相似矩阵变换可取为 例2 设3阶方阵A，4E-A和A+5E都不可逆，问A能否对角化？若能，写出其对角阵。 解：因为 A，4E-A和A+5E都不可逆，所以A有0，4，-5三个不相等的特征值，从而它有三个线性无关的特征向量。 一个