第9讲代数学的新生第9讲代学的新生数学的新生.ppt

代数学的新生 J. L. Lagrange1736-1813 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange关于用代数方法解方程的工作 Lagrange工作的影响 N. H. Abel, 1802-1829 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 请求雅可比或高斯不是就这些定理的正确性而是关于它们的重要性公开发表他们的意见 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 八个置换 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 Galois的可解性理论 群理论的发展 群理论的发展 群的定义 群理论的发展 向量 三维“复数”的寻找 三维“复数”的寻找 四元数 四元数的性质 四元数的性质 Grassmann的扩张的演算 从四元数到向量 The End 澄清了复数的概念，要寻找的三维或三分量的数应具有与复数相同的性质 两个让步：新数包含四个分量；必须牺牲乘法交换律 1843，在爱尔兰皇家科学院会议上宣告了四元数的发明 a + b i + c j +d k 实数部分，向量部分，点的坐标，方向，相等的准则，加法运算 乘法运算规则 j k = i , k j = -i , k i = j , i k = -j , i j = k , j i =-k i2 = j 2 = k2 = －1 引进了微分算子▽，作用于数量函数时产生梯度；作用于向量函数上产生一个四元数，其数量部分(除去负号)称为散度，向量部分为旋度 间接地将数学引向向量代数和向量分析 四元数是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系，对于代数学的发展是革命性的。从此数学家们可以通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理，构造新的数系。 H.G.Grassmann, 1809-1877，年轻时没有表现出数学才能，并且没有受过大学教育；德国Stettin城的中学数学教师，梵文权威 1844，《线性扩张论》；1862年修订《扩张论》 涉及n维向量的超复数 乘法的内积, ei ∣ei = 1, ei ∣ ej = 0 外积, [ei ej ] = － [ej ei], [ei ei ] = 0 混和积 * Hally和Newton的引领 19岁，都灵的皇家炮兵学校的数学教授 数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法 把引力定律应用于行星运动 “算术研究是最叫我伤脑筋的，而且恐怕是最少价值的。”(1775) 《关于方程的代数解法的思考》(1770) 分析解三次方程和四次方程的各种方法 为什么这些方法能把方程解出来 对于解更高次的方程能够提供什么线索 对于三次方程：x3 + nx + p = 0 (1) 引入变换 x = y － (n / 3y) (2) 得到辅助方程 y6 + py3 － n3 / 27 = 0 (3) 这个方程也叫简化方程，它是 y3 的二次方程。 设 r = y3, 方程变为： r2 + pr － n3 / 27 = 0 (4) 则 r 1,2 = 由 y3－ r = 0， 令ω = 这样，原方程的解就是通过简化方程的解得到的。 因为可以让我们全部解出来的正是简化方程，这个奥秘一定是隐藏在把简化方程的解用原先提出的方程的解表示出来这一联系之中。 当 x1, x2, x3按特定的顺序取出时，每一个y值都能写成形式：y = (x1 + ωx2 + ω2 x3)/ 3 (5) 性质1：简化方程的次数是由原方程的根的置换的个数决定的。 因为x1, x2, x3顺序(置换)有3!种，所以有6个y值，因而y应满足一个六次方程。 性质2： y所满足的方程一定是y3二次方程。另外， y所满足的六次方程的系数是原三次方程系数的有理函数。 因为在6种置换中，三种来自于交换所有的xi ，另三种来自于只交换两个而固定一个，但由于ω是单位立方根，所得到的y的6个值，就满足y1 = ω2 y2 = ω y3 ; y4 = ω2 y5 = ω y6 ，并且还有y13 = y23 = y33 。即函数(x1 + ωx2 + ω2 x3)3在的所有x1, x2, x3六种