第13次课 使用 导数及导数的应用(老师版生版)第13次课 使用) 导数及导数的应用(老师版生版)第13次课 使用) 导数及导数的应用(老师版生版)第13次课 使用) 导数及导数的应用(老师版生版).doc

【教师寄语：没有做不到只有想不到，老师相信你，你是最棒的】 导数及其应用 一、考点热点回顾 1、函数从到的平均变化率： 2、导数定义：在点处的导数记作；． 3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①；②； ③；④； ⑤；⑥； ⑦；⑧ 5、导数运算法则： ； ； ． 6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 7、求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数的极值的方法是：解方程．当时： 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是： 求函数在内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题 考点一：求导公式。 例1. 是的导函数，则的值是 。 解析：，所以 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。 解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以 答案：3 例3.曲线在点处的切线方程是 。 解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为： 答案： 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。 解析：直线过原点，则。由点在曲线C上，则， 。又， 在处曲线C的切线斜率为， ，整理得：，解得：或（舍），此时，，。所以，直线的方程为，切点坐标是。 答案：直线的方程为，切点坐标是 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。 解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。 当时，。 由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。 当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单调递减函数。 综合（1）（2）（3）可知。 答案： 点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。 例6. 设函数在及时取得极值。 （1）求a、b的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。 解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即，解得，。 （2）由（Ⅰ）可知，，。 当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立， 所以　，解得　或，因此的取值范围为。 答案：（1），；（2）。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数； ②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。 考点六：函数的最值。 例7. 已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。 解析：（1）， 。 （2），。 令，即，解得或， 则和在区间上随的变化情况如下表： ＋ 0 — 0 ＋ 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0 ，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。 答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。 解析： （1）∵为奇函数，∴，即 ∴，∵的最小值为，∴，又直线的斜率为，因此，，∴，，． （2）。　，列表如下： 增函数 极大 减函数 极小 增函数 　　　所以函数